Antwort mit KI erzeugt
Lösung zur Berechnung der mittleren Steigung
Schritt 1: Verständnis der Aufgabe
Die Aufgabe erfordert die Berechnung der mittleren Steigung einer Funktion \(f(x) = x^3\) im Intervall \([0;1]\). Die mittlere Steigung in einem Intervall eines Funktionsgraphen entspricht der Steigung der Sekante, die durch die Punkte am Anfang und Ende des Intervalls verläuft. Diese kann mit der Formel
\(
\text{Mittlere Steigung} = \frac{\Delta y}{\Delta x}
\)
berechnet werden, wobei \(\Delta y\) die Änderung des Funktionswertes und \(\Delta x\) die Änderung des x-Wertes im Intervall angibt. Die vorgegebene \(\Delta x = 1/4\) ist hier nicht direkt relevant, da sie für eine andere Berechnungsmethode (zum Beispiel die Approximation der Ableitung oder die Berechnung der mittleren Rate der Veränderung bei kleineren Intervallen) nützlich sein könnte, aber nicht für die Bestimmung der mittleren Steigung über das gesamte Intervall.
Schritt 2: Anwendung der Formel
Um die mittlere Steigung für \(f(x) = x^3\) im Intervall \([0;1]\) zu berechnen, müssen wir die Funktionswerte an den Enden dieses Intervalls bestimmen:
- Für \(x = 0\), \(f(0) = (0)^3 = 0\)
- Für \(x = 1\), \(f(1) = (1)^3 = 1\)
Nun können wir \(\Delta y\) als Differenz der Funktionswerte und \(\Delta x\) als Differenz der x-Werte bestimmen:
- \(\Delta y = f(1) - f(0) = 1 - 0 = 1\)
- \(\Delta x = 1 - 0 = 1\)
Setzen wir diese Werte in unsere Formel ein, erhalten wir:
\(
\text{Mittlere Steigung} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{1} = 1
\)
Schlussfolgerung
Die mittlere Steigung der Funktion \(f(x) = x^3\) im Intervall \([0;1]\) beträgt 1.
