Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.11.3:
Für alle x ∈ R ist
|sin(x)| ≤ 1 und | cos(x)| ≤ 1.

2.11.3
Satz (Eigenschaften von Sinus und Kosinus)

a) Für alle x ∈ R gilt (sin x)^(2) +
(cos x)^(2) = 1.

b) Es gilt sin(0) = 0 und cos(0) = 1.

c) Für alle x ∈ R ist sin(−x) = − sin(x) und cos(−x) = cos(x).

d) Für alle x, y ∈ R gelten die Additionstheoreme

cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

Problem/Ansatz:

Ich hätte jetzt für cosinus und sinus ais dem satz jeweils für x werte eingesetzt und so gezeigt dass

I sin(x)| ≤ 1 und | cos(x)| ≤ 1.

aber das müssen wir allgemein beweisen meinte unser Tutor und ich weiß jetzt leider nicht wie ich das beweisen soll.

MfG

Answer 1

Geht wohl am besten indirekt:

Angenommen es gäbe ein x mit    k = |sin(x)| > 1 dann liefert

(sin x)^(2) + (cos x)^(2) = 1

    k^2 +   (cos x)^(2) = 1

           (cos x)^(2) = 1   - k^2  < 0

Aber ein Quadrat ist nie kleiner als 0, also

Widerspruch !     q.e.d.

Comments

war dar das schon der Beweis gewesen oder muss mit den anderen Eigenschaften aus dem Satz noch ausprobieren?