Seien K := ℝ und V := ℝ3.
Sei f das Standardskalarprodukt auf V und sei Bˆ := ((1, −1, 0),(−1, 0, 1),(0, 0, −2)).
(a) Berechnen Sie M(f, Bˆ).
(b) Seien v, w ∈ V . Beschreiben Sie kurz, was es geometrisch bedeutet, wenn f(v, w) = 0 ist. Wie kann die Zahl f(v, v) geometrisch interpretiert werden?
(c) Sind v, w ∈ V , so ist die Gleichung f(v + w, v + w) = f(v, v) + f(w, w) im Allgemeinen falsch. Begründen Sie das einmal anhand der Definition von Bilinearformen und einmal geometrisch!
Ansatz:
a) habe ich bereits mit der definition der gramsche Matrix berechnet und erhielt: M(f, Bˆ) = \( \begin{pmatrix} 2 & -1&0 \\ -1 & 2&-2\\0&-2&4 \end{pmatrix} \)
b) Hier weiss ich nicht wirklich weiter, im Internet fand ich Aussagen wie:
f heißt orthosymmetrisch genau dann, wenn für alle v,w ∈ V gilt: Aus f(v,w) = 0 folgt f(w,v)=0
und f(v,v)=0 heißt schiefsymmetrisch oder alternierend, dann bräuchte man aber vermutlich noch f(v,v) ≠ 0 (glaube nicht, das es was mit der Lösung der Aufgabe zu tun hat)
bei c) habe ich leider keinen Ansatz und würde mich über eure Hilfe sehr freuen!^^
