Nichtlineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten lösen (Extremstellen mit Nebenbedingung)

Question

Aufgabe:

Sei f(x,y,z)=sin(x)+sin(y)+sin(z) für alle (x,y,z)∈ℝ³

Nebenbedingung: ||x||²=\( \frac{π}{4} \)

Bestimme die lokalen Extremstellen. Sind sie global?
Problem/Ansatz:

Da g(x,y,z)=x²+y²+z²-\( \frac{π}{4} \) =0 offensichtlich stetig differenzierbar und

f(x,y,z) ebenso offensichtlich stetig differenzierbar, gilt mit (x0,y0,z0) ∈M   wobei M={(x,y,z)∈ℝ³ : g(x,y,z)=0}

wobei (x0,y0,z0) lokale extremstelle sei:

grad f(x0,y0,z0)=λ grad g(x0,y0,z0)

Man erhält also folgendes Gleichungssystem:

cos(x0)=2λx0

cos(y0)=2λy0

cos(z0)=2λz0

x0²+y0²+z0²-\( \frac{π}{4} \)=0

Ich schaffe es nun erst  einmal nicht, dieses Gleichungssystem nach den 4 Werten aufzulösen, da bräuchte ich als erstes ein bisschen Hilfe. Wenn ich die Werte hab, hab ich ja alle Extremstellen. Wie kann ich dann überprüfen, ob es globale sind?

Answer 1

Ist das x aus der Nebenbedingung das gleiche x wie in der Funktionsvorschrift f(x,y,z)=... ?

PS: Ist dir klar, dass (unabhängig von jeder Nebenbedingung) f(x,y,z) garantiert im Intervall zwischen -3 und +3 liegt?

Comments

Nein, das habe ich blöd aufgeschrieben, das x in der nebenbedingung ist Element des ℝ³   also (x,y,z). Und ja, mir ist klar, dass das Intervall von -3 bis 3 geht, das sollte mir aber in dieser aufgabe doch nicht allzuviel bringen, weil meine nebenbedingung eine kugel mit radius Pi/4 ist und bei diesem radius die stellen Pi doch gar nicht erreicht werden.

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Es gibt gute Gründe anzunehmen, dass an den Extremstellen x=y=z gilt...