Question

Kurvenintegral für geschlossene Kurven

Aufgabe:

Seien $$g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$$ stetig differenzierbar und $$\nu:\mathbb{R}^{3}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}^{3}, \underline{x}\mapsto g(||\underline{x}||_{2})\underline{x}.$$

Zeigen sie, dass $$\int_{\gamma}^{} \nu d\underline{x}=0$$ für jede geschlossene Kurve $$\gamma$$ gilt, die nicht durch den Ursprung geht.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt leider der Ansatz. Über Hilfestellung wäre ich sehr dankbar!

Comments

EDIT: Habe in deiner Überschrift Kurvenintrgral zu Kurvenintegral gemacht. Das hat nichts mit "Inter Mailand" oder so zu tun.

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Hast du zufällig Aufgabe 42?

Kriege die einfach nicht hin...

Answer 1

Aloha :)

$$\vec x^2=x^2\quad\Rightarrow\quad\vec x\,d\vec x=\frac{1}{2}d\left(\vec x^2\right)=\frac{1}{2}d\left(x^2\right)=x\,dx\quad\Rightarrow\quad\oint\limits_\gamma g(x)\vec x\,d\vec x=\oint\limits_\gamma g(x)x\,dx$$

Das Integral hängt effektiv nur von \(x\) und nicht von \(\vec x\) ab, ist also 1-dimensional. Da es in einer Dimension nur genau einen Weg von einem Start- zu einem Endpunkt gibt, muss das Integral wegunabhängig sein. Hier ist der Weg sogar noch geschlossen, d.h, Start- und Endpunkt sind gleich, \(\vec x_a=\vec x_b\) bzw. \(x_a=x_b\). In dem 1-dimensionalen Integral wird also gar kein Weg zurückgelegt. [Wenn \(G(x)\) eine Stammfunktion zu \(g(x)x\) ist, lautet das Integral entlang des geschlossenen Weges: \(G(x_b)-G(x_a)=G(x_b)-G(x_b)=0\).]

Comments

Und wie zeige ich, dass das Kurvenintrgral wegunabhängig ist?

Was du beschreibst ist klar, aber dafür müsste ich ja auch zeigen, dass das Integral nur von x abhängt.

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Hmm, das habe ich doch geschrieben. Nehmen wir an, \(\vec x=\vec x(t)\), dann gilt:$$\vec x\cdot\frac{d\vec x}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\vec x^2\right)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(x^2\right)=x\cdot\frac{dx}{dt}\quad\text{bzw.}\quad\vec x\,d\vec x=x\,dx$$Das Kurvenintegral wird dann: $$\int\limits_\gamma g(x)\vec x\,d\vec x=\int\limits_{t_0}^{t_1}g(x)\vec x\frac{d\vec x}{dt}\,dt=\int\limits_{t_0}^{t_1}g(x)\,x\,\frac{dx}{dt}\,dt$$und hängt nur noch vom Betrag \(x\) ab.