Kurvenintegral eines Skalarfelds

Question

Hallo! Gegeben ist folgendes Beispiel:

Text erkannt:

Beispiel 1 (Kurvenintegral eines Skalarfelds).
Sei $M:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}=1, x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0\right\}$. Bestimmen Sie das Integral der Funktion
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x_{1} x_{2},$
über $M$.

Ich habe irgendwie noch nie wirklich ein Kurvenintegral machen müssen bei welchem meine Funktion nicht in parameter form gegeben ist. Auch im Skript finde ich dazu leider nichts. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Danke schon einmal im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Dann schauen wir mal, ob wir zusammen die Kurve kriegen...

Zunächst brauchst du einen Ortsvektor $\vec r$, der die Kurve abtastet. Die Kurve wird durch die Punktmenge $M$ beschrieben, die wir uns etwas genauer ansehen:$$x^2+4y^2=1\implies 4y^2=1-x^2\implies y=\pm\frac12\sqrt{1-x^2}$$Wegen $(y\ge0)$ wird das negative Vorzeichen der Wurzel irrelevant. Damit die Wurzel definiert ist, muss $(-1\le x\le1)$ gelten. Wegen $(x\ge0)$ heißt das $(0\le x\le1)$ sein. Damit ist der Ortsvektor gefunden:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{x}{\frac12\sqrt{1-x^2}}\quad;\quad x\in[0;1]$$

Auf diesem Weg sollst du nun durch das Skalarfeld $f(x;y)=xy$ laufen. Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld ergibt ein Vektorfeld. Der Vektorcharakter wird von dem Differential $d\vec r$ getragen. Über Vektoren integriert man komponentenweise:

$$\vec I=\int\limits_0^1f(x;y)\,d\vec r(x)=\int\limits_0^1f(x;y)\,\frac{d\vec r}{dx}\,dx=\int\limits_0^1\underbrace{x\cdot\frac12\sqrt{1-x^2}}_{=x\cdot y}\binom{1}{-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}}\,dx$$$$\phantom{\vec I}=\int\limits_0^1\binom{\frac12x\sqrt{1-x^2}}{-\frac{x^2}{4}}\,dx=\left[\binom{-\frac16(1-x^2)^{3/2}}{-\frac{x^3}{12}}\right]_0^1$$$$\phantom{\vec I}=\binom{0}{-\frac{1}{12}}-\binom{-\frac16}{0}=\binom{\frac16}{-\frac{1}{12}}=\frac{1}{12}\binom{2}{-1}$$