Schiefsymmetrische Matrix: Summe Eigenwert mal Vielfachheit ist 0

Question

folgende Frage wurde zwar in einem anderen Thread gestellt, aber noch nicht beantwortet:

Für jede schiefsymmetrische Matrix
A∈ℝ^nxn
mit den Eigenwerten λ₁,....,λ_r
und den zugehörtigen algebraischen Vielfachheiten κ₁,....,κ_r
gilt:
\( \sum\limits_{i=1}^{r}{κiλi=0} \)

Answer 1

Aloha :)

Für eine schiefsymmetrische, reelle Matrix \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) gilt \(A=-A^T\). Sei nun \(\lambda\in\mathbb{R}\) ein Eigenwert von \(A\), dann gibt es einen Eigenvektor \(\vec x\ne\vec 0\) mit \(A\vec x=\lambda\,\vec x\) und es gilt:

$$\lambda\,\left<x,x\right>=\left<\lambda x,x\right>=\left<Ax,x\right>=\left(A\vec x\right)^T\cdot\vec x=\left(\vec x^T\,A^T\right)\cdot\vec x=\vec x^T\cdot A^T\vec x=\left<\vec x,A^T\vec x\right>=\left<\vec x,-A\vec x\right>=\left<\vec x,-\lambda\vec x\right>=-\lambda\left<\vec x,\vec x\right>\quad\Rightarrow\quad\lambda=0$$Wenn die Matrix also einen reellen Eigenwert hat, muss dieser gleich \(0\) sein.