Koordinaten gemeinsamer Punkte errechnen plus Tangente

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe die Funktion f(x) = x^3 -x^2 -21x+45

G(x) = x^3 -19x+30

Problem/Ansatz:

Ich will die Koordinaten gemeinsamer Punkte berechnen und anzeigen wo es eine Stelle gibt wo die Tangenten parallel sind

Wie kann ich dies ausrechen

Bitte um Hilfe

Answer 1

Ich will die Koordinaten gemeinsamer Punkte berechnen

Die Funktionen gleichsetzen:

\(f(x)=G(x) \Leftrightarrow x^3-x^2-21x+45 = x^3-19x+30 \Leftrightarrow -x^2-2x+15=0\)

Dann mit z.B. der pq-Formel lösen. Es ergibt sich \(x_1=3, \, x_2=-5\). Dann noch den jeweiligen x-Wert in eine der Funktionen einsetzen, um die y-Koordinate zu bestimmen.

wo die Tangenten parallel sind

Parallele Tangenten haben die gleiche Steigung. Also sind die Stellen gesucht, an denen die Steigung beider Funktionen übereinstimmen:

\(f'(x)=G'(x) \Leftrightarrow 3x^2-2x-21 = 3x^2-19 \Leftrightarrow -2x-2 = 0 \rightarrow x_1=-1\)

Comments

Also bei tangente : bei 2x dann oder?

Und Koordinaten : ja da bin ich auch mit dem gleichsetzten aber ich kriege das nicht gelöst, hast du vielleicht die zwischen Schritte drauf ?

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Also bei tangente : bei 2x dann oder?
Nein, an der Stelle x=-1. Für f: t₁(x) = -16x + 48, für g: t₂(x) = -16x + 32

Und Koordinaten

\(-x^2-2x+15=0 \Leftrightarrow x^2+2x-15=0 \rightarrow p=2,\: q=-15\)

Es ergibt sich \(x_{1,2}=-\dfrac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-(-15)} = -1\pm \sqrt{16} = -1\pm 4\)

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Und wenn man die tangente an f im Punkt p(0/45) und an g im Punkt (-5/0)zeichnet ergibt das zusammen mit der x-Achse ein Dreieck.

Wie kann man die Fläche ausrechnen

Von diesem Dreieck

Also ich weiß man muss 0,5•a•b und dann hat man die Fläche aber es kommt kein Ergebnis raus bei mir

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Die Formel funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken.
Eine Möglichkeit wäre das Dreieck zu zerlegen, eine andere über Integration:

\(A=\displaystyle\int\limits_{-5}^{-\frac{235}{77}}(56x+280)\, dx + \int\limits_{-\frac{235}{77}}^{\frac{15}{7}} (45-21x)\, dx = \dfrac{3000}{77}\)

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Also hat die Fläche vom Dreieck hat die Größe von 3000/77?

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Und wie kommst du auf -235/77? Und 280? Oder auf 15/7 und 21x

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Ja.

-235/77 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts beider Geraden, 15/7 die Nullstelle der Tangente von f am Punkt (0|45).