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Aufgabe 

Ein bestimmtes Merkmal eines serienmäßig gefertigten Werkstücks sei eine mit µ = 180 mm und δ = 5 mm normalverteilte Zufallsgröße. Welche Genauigkeit lässt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 garantieren? (Geben Sie das zu µ symmetrische Intervall an)


Lösung:

Wahrscheinlich mache ich den Rechenweg komplett falsch und ich kann mir das ganze auch nur mit Hilfe der Lösung einer anderen Aufgabe zusammenreimen, aber hier meine Lösung:

µ = 180  δ = 5 

P(180-a < x < 180 +a)  //es ist ja das Intervall gesucht in dem man bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 landet

z1 = ((180-a)-180)/5 = -a/5
z2 = ((180+a)-180)/5 = a/5

Nun weiss ich nicht warum, aber in ähnlichen Aufgaben wurde nachdem man gesehen hat dass z1 und z2 nur ein Unterschiedliches Vorzeuichen haben 2*z angenommen. Ich vermute, weil es ja ein symmetrisches Intervall ist.

2* a/5 < 0,98 | :2
a/5 < 0,49

Dann wird die Gegenwahrscheinlichkeit genommen, ich weiss aber nicht wieso.

a/5 < 1 - 0,49
a/5 < 0,51

Die 0,51 ist das Φ(z), zu diesem suchen wir nun das z:

z = 0,02

a/5 < 0,03 | *5
a < 0,15

Hiervon wird wieder die Gegenwahrscheinlichkeit genommen und der zugehörige z-Wert aus der Tabelle abgelesen, warum?

Φ(z) = 1 - 0,15 = 0,99  -> z = 2,33

a/5 = 2,33 | *5
a = 11,65

P(180 - 11,65 < x < 180 + 11,65)

P(168,35 < x < 191,65 )   Das Ergebnis der Lösung wäre P(168,37 < x < 191,63)


Problem:

Das ist jetzt sehr viel Text und recht lang geworden, ich hoffe es ist einigermaßen nachvollziehbar. Ich habe für die Normalverteilung viele gute Erklärungen von einer matheseite bei youtube gefunden, aber die Beispielaufgaben sind immer in der Form, dass die Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Hier ist aber ja das Intervall um den Mittelwert gesucht und ich habe dazu kein Video von dem Youtube-Dozenten gefunden, der  mir die anderen Aufgaben so gut erklärt hat.

Könnte mir vielleicht jemand sagen, wie das generelle Vorgehen für diesen Aufgabentyp ist? Wieso wird aus z1 und z2 = 2*z und wieso suche ich mehrmals den zugehörigen z-Wert?

Ich habe mal bei einem Antwortenden das Angebot für Nachhilfe gefunden, das werde ich dann wohl in Anspruch nehmen wenn ich es wieder finde.

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Beste Antwort

Du suchst das zweiseitige Intervall zu dem 98% gehören.

Oder das einseitige Intervall zu dem (50 + 98/2)% gehören.

NORMAL(k) = 0.5 + 0.98/2 --> k = 2.326347865

Sowohl die Werte für das einseitige als auch das zweiseitige Intervall lassen sich in Tabellen nachlesen.

Nun bestimmst du die Grenzen

180 - 2.326347865·5 = 168.3682606

180 + 2.326347865·5 = 191.6317393

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Vielen Dank!

Wie kommst du auf (50 + 98/2)%?

Hier eine Skizze

blob.png

Und hier die Rechnungen die dir eventuell eine Erleuchtung verschaffen:

Im Intervall [x1 ; x2] liegen ?? % der Werte.

Im Intervall [μ ; x2] liegen ?? % der Werte.

Im Intervall [-∞ ; μ] liegen ?? % der Werte.

Im Intervall [-∞ ; x2] liegen ?? % der Werte.

Im Intervall [x1 ; x2] liegen 98 % der Werte.

Im Intervall [μ ; x2] liegen 98/2 % der Werte.

Im Intervall [-∞ ; μ] liegen 50 % der Werte.

Im Intervall [-∞ ; x2] liegen 50+98/2 % der Werte.


Oder?

Wie man darauf kommt verstehe ich leider trotzdem nicht. Deine Rechnung sieht so einfach aus, aber wie ich von meiner Aufgabenstellung darauf komme erfordert wohl sehr viel wissen. Im Seminar wurde es so gemacht wie ich gezeigt hatte, ist aber ein Jahr her und ich weiss nicht mehr, wie das Schema war.

Vielen Dank für deine Mühe!

Im Intervall [-∞ ; x2] liegen 50+98/2 % der Werte.

Das ist völlig richtig. Und dieser Ansatz erlaubt dir sehr schnell von einem symmetrischen Intervall auf die normale Normalverteilung umzurechnen. Das nur für den Fall das du wie ein Taschenrechner nur die Tabelle der Normalverteilung vorliegen hast und nicht die Werte der symmetrischen Intervalle.

Ich kann das natürlich auch nach eurer Methode herleiten. Das ist aber etwas aufwendiger. Bei mir brauchst du eben nur

NORMAL(k) = 0.5 + 0.98/2 → k = 2.326347865

in der Tabelle der Standardnormalverteilung nachschlagen oder eben den Taschenrechner befragen. Warum ich das so mache habe ich oben ja erläutert.

Kann es sein, dass in deinem Profil mal eine Möglichkeit für Nachhilfe stand? Ich kann sie nicht mehr finden. Ich verstehe deine Rechnung, allerdings wie man die Grenzen festlegt und auf die 0,5 bzw. 50% kommt nicht. Also wie ich aus einer Aufgabenstellung schließe, dass ich das so rechnen kann. Schwer zu erklären, sorry.

Habe eine weitere Aufgabe, die ähnlich ist:

Bei einer Lieferung von Kondensatoren sei deren Kapazität normalverteilt mit einem Mittelwert 200 (µF) und einer Standardabweichung von 5 (µF). Wie müssen die Toleranzgrenzen 200-a und 200+a gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerhaften Kondensators kleiner als 0,01 ist?

Wenn ich nun die Gegenwahrscheinlichkeit von 0,01 nehme und
0,5 + 0,99/2
rechne, dazu den Wert in der Tabelle nachschlage, komme ich auf 2,5758.

Mit 5 Multipliziert, weil die Standardabweichung 5 war, lande ich gerundet beim richtigen Ergebnis von 12,9. Vielleicht ist das auch einfach Zufall.

Verblüffend! Aber wann ich 0,5 nutze und wann nicht, sowie woher ich weiß, dass ich hier mit 5 multiplizieren muss, bei der ersten Aufgabe aber nicht, ist mir ein Rätsel.

Sorry,  bei der ersten Aufgabe hast du natürlich auch mit 5 multipliziert.

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