A symmetrisch => exp(A) symmetrisch und positiv definit

Question

Aufgabe:

Sei A eine quadratische n x n Matrix.

Zeigen Sie, dass gilt: A symmetrisch => exp(A) symmetrisch und positiv definit.

Problem/Ansatz:

Symmetrie ist klar. Da A symm. gilt A = A^T also exp(A) = exp(A^T) und das ist äquivalent zu (exp(A))^T. Also ist exp(A) symm. Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich zeige, dass exp(A) zusätzlich pos. definit.

Comments

Tipp: exp(λ)>0 für alle λ∈ℝ.

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Da A symmetrisch, gilt A=SDS^-1 also:

exp(A)=Sexp(D)S^-1 wobei exp(D) wegen dem von dir genannten Punkt immer positiv ist. Aber um pos. definit. zu zeigen, müsste ich doch etwas in dieser Form haben:

S^T exp(D) S oder nicht?

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müsste ich doch etwas in dieser Form haben: \( S^t \exp(D) S \) oder nicht?

Hast du doch? Der Spektralsatz lässt grüßen ;)

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Davon habe ich noch nie gehört, entweder habe ich in Analysis geschlafen oder unser Prof. hat wie letzte Woche vergessen, für die Übungsblätter wichtige Sätze einzuführen xD