nicht singuläre Matrix B - Beweis BtB ist positiv definit

Question

Aufgabe:

Sei B eine reelle nichtsinguläre Matrix. Zeige: B^tB ist positiv definit.

Problem/Ansatz:

nichtsingulär = reguläre, invertierbare Matrix

d.h.: es gilt A • A^-1 = A^-1 • A = I

für positiv definit gilt: x^TAx > 0 für alle x aus V mit x ≠ 0

Beweis:

Da B regulär ist gilt: B • B^-1 = B^-1 • B = I

Das heißt B hat die Form einer quadratischen Matrix

B= \( \begin{pmatrix} b11 & ... & b1n \\ ... & ... & ... \\ bn1 & ... & bnn\end{pmatrix} \)

B^T = \( \begin{pmatrix} b11 & ... & bn1 \\ ... & ... & ... \\ b1n & ... & bnn\end{pmatrix} \)

B^TB = Doch wie geh ich jetzt weiter vor?

Danke !

Answer 1

o.B.d.A. gilt für ein beliebiges x mit |x| = 1:

$$ x^TBx \in \mathbb{R} \Rightarrow (x^TBx)^2 =: c^2 > 0 $$ Denn wäre es gleich Null, wäre x = 0 (nicht singulär)

Und mit \(x^TBx = c \Rightarrow (x^TBx)^T = x^TB^Tx = c^T = c \Rightarrow 0 < (x^TBx)^2 = x^TBxx^TB^Tx =  x^TB|x|^2B^Tx = x^TBB^Tx\)

Comments

Hallo |x| wähle ich um det(1) zu ergänzen, oder?

Kann ich beim letzten Schritt nicht einfach:

0 < det(B^T) det (x^TBx)

0 < det (x^TB^TBx) weil dann habe ich die Definition von positiv definit gleich stehen?

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Genau deshalb wählst du |x| = 1 :)

Nein, weil die Definition \(\mathrm{det}(x^TBx)\) > 0. Es ist so gemacht, damit eben genau die Definition dasteht ;)

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Okay danke !

Dachte nur, dass man für die Matrix jede beliebige einsetzen kann und somit auch B^TB

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Nein du wählst ein beliebiges x. Außer du möchtest zeigen, dass \(B^TB\) positiv definit ist.

EDIT: mir fällt auf, dass sich der Beweis tatsächlich so für alle Matrizen mit positiver Determinante führen lässt! Somit kann er wohl nicht stimmen ;)

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Ja ich muss ja zeigen, dass B^tB positiv definit ist.

Also Sei B eine reelle nichtsinguläre Matrix. Zeige: B^tB ist positiv definit.

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Sorry ich hatte einen blöden Denkfehler drinnen. Jetzt sollte es passen

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Bezüglich: Denn wäre es gleich Null, wäre x = 0 (nicht singulär)

Aber es sollte doch nicht singulär sein (steht ja in der Angabe) und nicht singulär heißt regulär oder meintest du nicht nichtsingulär? :D 

Also:

Man wählt c = x^TBx

Man transponiert:   c^T = (x^TBx)^T

Dann ergibt sich: c^T = xB^Tx^T Warum ist dann das wieder c?  ist ja nicht das gleiche?

0<(x^TBx)²  Weil man erkennt dass c das gleiche ist?

x^TBxx^TB^Tx 

x^TB|x|B^Tx

x^TBB^Tx

?

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Okay jetzt komm ich gar nicht mehr klar :D

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Denn wäre es gleich Null, wäre x = 0 (nicht singulär)

Aber es sollte doch nicht singulär sein (steht ja in der Angabe) und nicht singulär heißt regulär oder meintest du nicht nichtsingulär? :D

Ich wollte damit sagen, dass wenn \(x^TBx = 0 \Rightarrow Bx = 0 \Rightarrow x \in \mathrm{ker} B \). Aber da B nichtsingulär (habe das Leerzeichen weggelassen) gilt \(\mathrm{ker} B = 0 \Rightarrow x = 0\)

Dann ergibt sich: \(c^T = xB^Tx^T \) Warum ist dann das wieder c?  ist ja nicht das gleiche?

Ist es, da es eine reelle Zahl ist, das habe ich im letzten Schritt auch nochmal geschrieben. Die Idee dahinter war zu zeigen, dass das Transponierte des Ausdrucks wieder dem Ausdruck entspricht, weil wir das dann später brauchen.

Weil man erkennt dass c das gleiche ist?

Das ist c²

$$x^TBxx^TB^Tx = x^TB|x|^2B^Tx = x^TBB^Tx $$

Erste Gleichung gilt, da \(x^Tx\) das Skalarprodukt und somit das Quadrat des Betrags ist. Dann hatten wir gefordert, dass |x| = 1 und somit kann man es weglassen (1 ist das neutrale Element bezüglich Multiplikation)

Am Ende steht dann \(0 < ... < x^TBB^Tx \) was zu zeigen war.

Ich hoffen das hilft dir, ansonsten frag gerne weiter :)

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Okay alles klar vielen Dank! :)

also müsst ich noch ergänzen, dass c ∈ ℝ.

und alles zum Quadrat wähle ich am Anfang nur, damit ich dann das Skalarprodukt als Quadrat des Betrages schreiben kann und somit 1 einsetzen kann, habe ich das richtig verstanden?

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Nein, du wählst das zum Quadrat, damit du a) weißt, dass es > 0 und b) damit du einen Faktor durch sein Transponiertes ersetzen kannst um am Ende beim angestrebten Ergebnis anzukommen.