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Wie kann ich denn zeigen, dass wenn eine Matrix symmetrische und positiv definite Matrix und außerdem unitär ist, nur die Einheitsmatrix sein kann?

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Für eine reelle Matrix A A kann man das so beweisen.

Symmetrisch heisst A=AT A = A^T , unitär heisst AAT=I A A^T = I und positiv definit heisst, alle Eigenwerte von A A sind größer Null.

Es gilt, mit einer geeigneten Transformationsmatrix S S   I=AAT=AA=SDSTSDST=SD2ST I = A A^T = A A = S D S^T S D S^T = S D^2 S^T also D2=I D^2 = I also dii2=1 d_{ii}^2 =1 also dii=±1 d_{ii} = \pm 1

Da auf der Diagonalen von D D die Eigenwerte von A A stehen und diese alle größer Null sind, folgt dii=1 d_{ii} =1 , also D=I D = I

also A=SDST=SIST=SST=I A = S D S^T = S I S^T = S S^T = I

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