Behauptung: Nur Einheitsmatrix ist symmetrisch, positiv definit und außerdem unitär. Beweis?

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Wie kann ich denn zeigen, dass wenn eine Matrix symmetrische und positiv definite Matrix und außerdem unitär ist, nur die Einheitsmatrix sein kann? 

Gefragt 9 Jun von Gast ic1144

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Für eine reelle Matrix \( A \) kann man das so beweisen.

Symmetrisch heisst \( A = A^T \), unitär heisst \( A A^T = I \) und positiv definit heisst, alle Eigenwerte von \( A \) sind größer Null.

Es gilt, mit einer geeigneten Transformationsmatrix \( S \)  \( I = A A^T = A A = S D S^T S D S^T = S D^2 S^T \) also \( D^2 = I \) also \( d_{ii}^2 =1 \) also \( d_{ii} = \pm 1 \)

Da auf der Diagonalen von \( D \) die Eigenwerte von \( A \) stehen und diese alle größer Null sind, folgt \( d_{ii} =1 \), also \( D = I \)

also \( A = S D S^T = S I S^T = S S^T = I \)

Beantwortet 11 Jun von ullim 21 k

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