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Aufgabe:

Es sei A = $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$ ∈ ℝ3x3.

Finden Sie eine Isometrie B ∈ ℝ3x3 (das heißt eine Matrix B, für die B BT = I3 gilt) und eine Diagonalmatrix D ∈ ℝ3x3 so, dass BAB = D

Problem/Ansatz:

Ich hab bereits über die Eigenwerte und Eigenräume die Diagonalmatrix ermitteln können. Dabei hab ich wenn die Matrix P aus den Eigenvektoren als Spalten besteht, die Formel P-1 A  P = D genutzt. Da jedoch nicht P-1 = PT gilt, ist P keine Isometrie wie es in der Aufgabenstellung verlangt wird.

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Hallo Yami,

Da jedoch nicht P-1 = PT gilt, ...

Dann hast Du wahrscheinlich vergessen, die Spaltenvektoren in \(P\) zu normieren.

Ich hab bereits über die Eigenwerte und Eigenräume die Diagonalmatrix ermitteln können.

\(\varphi\) sei das Verhältnis des goldenen Schnitts \(\varphi=(\sqrt 5 + 1)/2\), dann hast Du wahrscheinlich $$P= \begin{pmatrix}-\varphi& \varphi - 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$Die Spaltenvektoren von \(P\) stehen zwar senkrecht zu einander, haben aber nicht die Länge von 1. Also normiere sie einfach - für Eigenvektoren spielt die Länge keine Rolle! $$B= \begin{pmatrix}-\sqrt{\frac{2+\varphi}5}& \frac{1}{\sqrt{2+\varphi}}& 0\\ \frac 1{\sqrt{2+\varphi}}& \sqrt{\frac{2+\varphi}5}& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}-0.8507& 0.5257& 0\\ 0.5257& 0.8507& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$

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Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen :)

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