x von einer Funktion finden mit einem negativen exponent

Question

x² + 4x^-2 – 5 = 0

Ich möchte x finden.. aber mit dem negativen Exponenten weiß ich nicht mehr weiter. ..

Könnte mir jemand weiter helfen?

Answer 1

Aloha :)

Negative Exponenten bedeuten, dass der Kehrwert gemeint ist. Wenn du einen Bruch mit Faktoren im Zähler und Nenner hast, dann kann jeder dieser Faktoren die Seite des Bruchstrichs wechseln, wobei der Exponent sein Vorzeichen wechselt. Betrachte zum Beispiel $\frac{x^2\cdot y^{-3}\cdot z^2}{x^{-1}\cdot y^2\cdot z^{-3}}$. Das $x^{-1}$ aus dem Nenner geht in den Zähler und wird zu $x^1$. Das $y^{-3}$ aus dem Zähler geht als $y^3$ in den Nenner und das $z^{-3}$ aus dem Nenner geht als $z^3$ in den Zähler. Der Bruch wird dann zu $\frac{x^2\cdot x^1\cdot z^2\cdot z^3}{y^2\cdot y^3}$ und kann noch vereinfacht werden zu $\frac{x^3\cdot z^5}{y^5}$.

Konkret bei deiner Gleichung ist nun:

$$x^2+4x^{-2}-5=0$$$$x^2+4\cdot\frac{x^{-2}}{1}-5=0$$$$\left.x^2+4\cdot\frac{1}{x^2}-5=0\quad\right|\;\cdot x^2$$$$x^4+4-5x^2=0$$$$x^4-5x^2+4=0$$$$(x^2)^2-5(x^2)+4=0$$Du erhältst eine quadratische Gleichung für $(x^2)$. Diese kannst du z.B. mit der pq-Formel lösen oder du findest zwei Zahlen, mit der Summe $-5$ und dem Produkt $4$. Die zweite Methode ist hier schneller, denn $-4$ und $-1$ erfüllen diese Forderungen.$$(x^2-4)\cdot(x^2-1)=0$$Jetzt kannst du die dritte binomische Formel "rückwärts" anwenden, also $(x^2-4)=(x+2)(x-2)$ und $(x^2-1)=(x+1)(x-1)$, was zu folgendem Ergebnis führt:$$(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)=0$$Daraus lassen sich alle vier Nullstellen ablesen: $-2,-1,1,2$.

Answer 2

$x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$

$x^2+4x^{-2}-5=0 \Leftrightarrow x^2+\dfrac{4}{x^2}-5=0 \Leftrightarrow x^2\cdot x^2 + 4 -5\cdot x^2 = 0 \Leftrightarrow x^4 -5x^2+4=0$

Und dann würde es sich anbieten, $z=x^2$ zu substituieren.