Summenzeichen so umschreiben, dass über Summenzeichen n steht?

Question

Bin gerade bei der vollständigen Induktion. Habe Probleme damit, den Endwert n umzuformen..

Aufgabe:

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{2^{2*(k-1)}}{3*k}$$ sowie $$\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+1)}$$

Ich will das jeweils der Summenzeichen alleine mit dem Endwert n  dasteht.

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre:

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{2^{2*(k-1)}}{3*k} = \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{2^{2*(k-1)}}{3*k} + \frac{2^{2*n}}{3*n+3}$$

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+1)} = \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)*(k+2)} + \frac{1}{(n+2)+(n+3)}$$

Ob es jetzt richtig oder falsch ist, ist eine gute Frage :D

Answer 1

Umgeschrieben hast du fast richtig.

a) Stimmt

b) Innerhalb vom Summenzeichen muss links und rechts von gleich dasselbe stehen.

Der zusätzliche Summand ist 1/((n+1)(n+2)) .

b) ist übrigens eine Teleskopsumme. D.h. du brauchst diese Umschreibung eigentlich nicht. https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme

Alternative Schreibweise mit Indexverschiebung: https://www.mathelounge.de/337022/summenzeichen-brauche-hilfe-bei-de…

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Ja stimmt, bei b) habe ich nach dem = nicht dasselbe sehen, habe ich erst jetzt gesehen ^^

Ahh Teleskopsumme, okay, wieder was neues gelernt :)

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Man könnte (z.B. bei a)) auch an

$\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{2^{2k}}{3·(k+1)}$  denken.

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Gute Idee. Bei b) könnte man auch mit k=0 beginnen. Dann würden die angegebenen Summanden innerhalb des Summenzeichens passen und man braucht keinen zusätzlichen Summanden, der n enthält. Nur: Bei b) ist die Umformung auf eine Teleskopsumme wohl einfacher ohne Indexverschiebung.

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Ahh interessant, danke :)!