Rechnen mit Summenzeichen | Teilmenge aus N

Question

Rechnen mit Summenzeichen:

n ∈ ℕ

k = 1 , ende n

∑ (1/k - 1/k+1)

wie genau funktioniert das rechnen wenn die Obere grenze nicht genau gegeben ist sondern nur Teilmenge eines Zahlenbereichs ist?

Ergänzung:

Das Plus 1 ist noch unten im nenner drin also -1/(k+1) sry hätte das besser schreiben sollen

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Vom Duplikat:

Titel: Summenformel berechnen für: n ∈ ℕ

Stichworte: summenformel,summenzeichen,natürliche-zahlen,induktion

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ. Berechnen Sie

(i)  Σ n= n k=1 (1/k - 1/k+1)

Problem/Ansatz:

Ich brauche keine Berechnung oder Lösung.

Ich frage nicht nur, ob ich für eine beliebige Zahl ∈ ℕ für n einsetzen muss, oder ob das ganz allgemeingültig für alle ℕ berechnet werden muss.

Vielen Dank im Voraus

Philip

Answer 1

∑ (1/k - 1/k+1) = ?

das ist doch ganz einfach: da \(\frac 1k - \frac 1k=0\) ist, ist$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1k - \frac 1k +1= \sum\limits_{k=1}^{n}1 = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n \space \text{mal}} = n$$aber das meinst Du gar nicht - oder?

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Das Plus 1 ist noch unten im nenner drin also -1/(k+1) sry hätte das besser schreiben sollen

Answer 2

\( \sum\limits_{n=1}^{n}{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}} \)=\( \frac{n}{n+1} \)

Answer 3

Hallo Torsten,

$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1k - \frac 1{k+1} = \,?$$wenn Dich bei solchen Aufgaben das \(n\) als Variable verwirrt, so setzte doch einfach mal eine kleine Zahl für das \(n\) ein und schau was da heraus kommt. Zum Beispiel \(n=3\) gibt$$\sum\limits_{k=1}^{3} \frac 1k - \frac 1{k+1} = \frac 11\space\underbrace{ - \frac 12 + \frac 12}_{=0} \space\underbrace{ -\frac 13 + \frac 13}_{=0} - \frac 14 = \frac 11  -\frac 14= \frac 34$$Fällt Dir was auf. Probiere das nochmal mit \(n=5\).

Das Ding, nennt man eine Teleskopsumme. Teleskop deshalb, weil die sich wie ein Teleskop zusammen schieben lässt und nur vom ersten und letzten Element etwas übrig bleibt. Es ist $$\begin{aligned}\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1k - \frac 1{k+1} &= \overbrace{\frac 11- \frac 12}^{k=1} + \overbrace{\frac 12 - \frac 13}^{k=2} + \dots + \overbrace{\frac 1{n-1} - \frac 1n}^{k=n-1} + \overbrace{\frac 1n - \frac 1{n+1}}^{k=n} \\&= \frac 11 - \frac 1{n+1}\\&= \frac{n}{n+1}\end{aligned}$$Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner ich hätte noch eine Frage.

Wieso wird denn aus der \( \frac{1}{k+1} \) = \( \frac{1}{n+1} \) ? Das verstehe ich irgendwie nicht

Gruß Asiminho

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Wieso wird denn aus der \( \frac{1}{k+1} \) = \( \frac{1}{n+1} \) ?

Es wird nicht(!) aus \( \frac{1}{k+1}\)  \( \frac{1}{n+1} \), sondern aus\(\sum_k^n \left(\frac 1k-\frac1{k+1}\right)\) wird \(\frac 11 - \frac 1{n+1}\). Ich habe meine Antwort nochmal überarbeitet, damit das klarer wird.

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Vielen Dank ich habe es jetzt verstanden

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Text erkannt:

\( =\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1} \)
\( =\frac{n}{n+1} \)

warum wird Das minus dann zu einem plus? also das vorzeichen vom bruch

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warum wird Das minus dann zu einem plus?

wird es nicht, es entfällt: \(\dots +1 -1 = \dots 0\)

Bruchrechnen leicht gemacht führt bei der Addition über den Hauptnenner. Hier ist der Hauptnenner \(1\cdot(n+1)=n+1\). Folglich erweitert man den ersten Bruch mit eben diesem Hauptnenner und erhält:$$\phantom{=}\frac{1}{1} - \frac1{n+1} \\=\frac{1 \cdot(n+1)}{1\cdot (n+1)} - \frac1{n+1}\\=\frac{n+1}{n+1} - \frac1{n+1}\\ =\frac{n\,{\color{red}+1-1}}{n+1}\\=\frac n{n+1}$$

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Ahh ich verstehe, das hab ich ganz vergessen, danke!

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sagen wir wir haben als k = 2 und ende ist n+2

∑ 2^k-2 

^{Dann hätte man ja sogesagt die  2 hoch 0 bis 2 hoch n +2 oder wie?}

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sagen wir wir haben als k = 2 und ende ist n+2

dann ist die Folge von \(k\):$$k:=\quad 2,\,3,\,4,\,\dots n-1,\,n,\, n+1,\, n+2$$

Dann hätte man ja sogesagt die 2 hoch 0 bis 2 hoch n+2 oder wie?

Nicht ganz. Für die Summe \(\sum 2^{k-2}\) bedeutet das:$$\begin{aligned}\sum\limits_{k=2}^{n+2} 2^{k-2} &= 2^{2-2} + 2^{3-2}+\dots 2^{n+1-2} + 2^{n+2-2}\\&= 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{n-1} +2^n \\&= \sum\limits_{j=0}^{n}2^j\end{aligned}$$Es sind nur \(n+1\) Summanden; nicht mehr. Von \(0\) bis \(n\) oder eben von \(2\) bis \(n+2\).

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Ah ich verstehe, interessant, danke nochmals!

Answer 4

wird wohl allgemein für jedes n gemeint sein.

(sog. Teleskopsumme)

$$\sum \limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$$

Mache 2 Summen daraus

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$$

Die erste beginnt mit 1 und endet mit 1/k

und die zweite beginnt mit 1/2 und endet mit 1/(k+1) .

Also hebt sich fast alles gegenseitig auf und es bleibt

 1 - 1/(n+1) .

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Und wie geht das dann ungefähr ?

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Hab was ergänzt.

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Alter Schwede ihr seid echt Maschinen ahahha

Danke