Wie kann man folgende Aussage mit Kontraposition beweisen (Anregung)

Question

also gegeben Produkt zweier Zahlen echt grösser 64, dann ist mind. eine der Zahlen mind. echt grösser 8.


Ich habe dazu geschrieben: Wenn der Quotient zweier Zahlen echt kleiner gleich 64 ist, dann ist mind. der Divident oder Divisor max echt kleiner gleich 8.

Kann man das so schreiben? Muss das rechnisch bewiesen werden. Ist die Kontrapositon überhaupt richtig?




_ Mfg_

m.

Answer 1

Die Kontraposition zu einer Aussage der Form
A => B

ist

¬ ( A => B  )

<=> ¬ ( ¬ A ∨ B )

<=> A ∧ ¬ B

Übertragen auf dein Beispiel gilt:

Die zu beweisende Behauptung lautet:

( a * b > 64 ) => ( a > 8 ∨ b > 8 )

Sie ist von der Form: A => B

mit A = ( a * b > 64 ) und B = ( a > 8 ∨ b > 8 )

Die Kontraposition zu der Aussageform A => B lautet (siehe oben):

A ∧ ¬ B

also vorliegend:

( a * b > 64 ) ∧ ¬ ( a > 8 ∨ b > 8 )

(In Worten: "Das Produkt zweier Zahlen a und b ist echt größer als 64 und es gilt nicht, dass a echt größer als 8 oder b echt größer als 8 ist.")

Dies soll nun ad absurdum, also zum Widerspruch geführt werden, was recht einfach ist,
denn löst man die Negation auf, erhält man:

<=> ( a * b > 64 ) ∧ ( a ≤ 8 ∧ b ≤ 8 )

Wenn aber ( a ≤ 8 ∧ b ≤ 8 ) gilt, dann ist a * b ≤ 64, also erhält man:

<=>  ( a * b > 64 ) ∧ ( a * b ≤ 64 )

Das ist offensichtlich ein Widerspruch. Daher ist die Kontraposition der zu beweisenden Aussage unwahr und damit ist die zu beweisende Aussage wahr.