Ist n ungerade, ist auch n³ ungerade mit Kontraposition beweisen.

Question

Oben genannte Aussage soll ich per Kontraposition beweisen. Die Annahme bekomme ich ja auch noch hin, also:

Wenn n³ gerade ist, ist auch n gerade. Ich scheitere aber am Beweis. Habe als Ansatz genommen:


n³ = 2k, weil es ja eine gerade Zahl sein soll. Daraus wollte ich dann die dritte Wurzel ziehen, sodass
n = 2^{1/3} · k^{1/3}, aber wie genau ich jetzt zeige, dass der Term gerade ist, weiß ich leider nicht.

Answer 1

Wenn n³ gerade ist, ist auch n gerade.

Das ist aber nicht die Kontraposition zu

n ungerade => n ³ ungerade.

Die richtige Kontraposition ist:

NOT ( n ungerade => n ³ ungerade )

und das ist gleichbedeutend mit:

n ungerade und n ³ nicht ungerade

bzw.

n ungerade und n ³ gerade.

DAS ist die Annahme, die du zum Widerspruch führen musst, etwa so:

 

n ungerade und n ³ gerade

=> ∃_{k,m ∈ N} n = 2 k + 1 und n ³ = 2 m

=> n ³ = ( 2 k + 1 ) ³ = 8 k ³ + 12 k ² + 6 k + 1 = 2 m (k, m ∈ N)

=> 4 k ³ + 6 k ² + 3 k + ( 1 / 2 ) = m (k, m ∈ N)

Da für k ∈ N sowohl 4 k ³ als auch 6 k ² als auch 3 k natürliche Zahlen sind,
ist x = 4 k ³ + 6 k ² + 3 k ebenfalls eine natürliche Zahl und es folgt: 

=> x + ( 1 / 2 ) = m ( x, m ∈ N  ) 

=> 2 m = 2 x + 1

Das aber bedeutet, dass n ³ = 2 m eine ungerade Zahl ist. Und das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass n ³ eine gerade Zahl ist.

Also gilt die Negation der Annahme

n ungerade und n ³ gerade

und die Negation dieser Annahme ist die zu zeigende Behauptung:

n ungerade => n ³ ungerade

Comments

Nach einem Widerspruch war nicht gefragt. Bei der Kontraposition wird der Umkehrschluss verwendet, den der Fragende hier richtig formuliert hat.

Answer 2

Eine gerade Zahl ist immer durch 2 teilbar.

1. gerade Zahl x = 2n

2. gerade Zahl y = 2m

3. gerade Zahl z = 2p
n³ = (n*n*n) soll gerade sein -> x*y*z= 2n*2m*2p = 2*(n*m*p) -> Dies muss eine gerade Zahl sein, da der Faktor 2 ausgeklammert werden kann.

Comments

Es sollte allerdings ein Widerspruchsbeweis geführt werden ...

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@JotEs Die Rede war von einer Kontraposition. NICHT von einer Kontradiktion.