Richtungsableitung mit 2 Funktionen

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Funktion gegeben mit: f(x,y,z):= (x^{y+z^2}, $\frac{yz}{x}$. Davon soll ich die Richtungsableitung bestimmen mit Punkt a:= (1,2,3) und Richtung v:=(2,1,-1).

Problem/Ansatz:

Partiell abgeleitet und so weiter habe ich schon. Da es zwei Funktionen f₁:= xy+z^2 und f₂:= $\frac{yz}{x}$ gibt, bekomme ich bei ∇f eine 2x3 Matrix raus. Problem: Ich kann das nicht mit dem Richtungsvektor v:=(2,1,-1) mutlipilzieren... Muss man jeweils für f₁ und f₂  ∇f separat machen ?

Answer 1

Aloha :)

Bei einem Vektorfeld ist die Richtungsableitung komponentenweise definiert. Du könntest also von jeder Komponenten-Funktion den Gradient bilden und diesen mit dem Richtungsvektor multiplizieren. Du kannst aber auch die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilen in eine Matrix eintragen (was der Jacobi-Matrix entspricht) und diese ganze Matrix mit dem Richtungsvektor multiplizieren. Da du die Matrix-Lösung gewählt hast, betrachten wir diese im Folgenden weiter.

$$\vec f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}f_1(x,y,z)\\f_2(x,y,z)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x^{y+z^2}\\\frac{yz}{x}\end{array}\right)$$

$$\text{grad}(f_1)=\left(\begin{array}{c}(y+z^2)x^{y+z^2-1}\\\ln(x)\,x^{y+z^2}\\2z\ln(x)\,x^{y+z^2}\end{array}\right)\quad;\quad\text{grad}(f_2)=\left(\begin{array}{c}-\frac{yz}{x^2}\\\frac{z}{x}\\\frac{y}{x}\end{array}\right)$$Die Richtungsableitung ist im Punkt $A(1,2,3)$ gesucht. Wir setzen das in die Gradienten ein:

$$\text{grad}_A(f_1)=\left(\begin{array}{c}11\\0\\0\end{array}\right)\quad;\quad\text{grad}_A(f_2)=\left(\begin{array}{c}-6\\3\\2\end{array}\right)$$und schreiben die Jacobi-Matrix im Punkt $A$ hin:

$$J_A(\vec f)=\left(\begin{array}{c}11 & 0 & 0\\-6 & 3 & 2\end{array}\right)$$Diese Matrix muss nun mit dem Richtungsvektor von $\vec v=(2,1,-1)^T$ multipliziert werden, dazu müssen wir $\vec v$ normieren:$${\vec v}^0=\frac{\vec v}{\Vert\vec v\Vert}=\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\end{array}\right)$$Nun nur noch die Multiplikation durchführen:

$$J_A(\vec f)\cdot{\vec v}^0=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}11 & 0 & 0\\-6 & 3 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}22\\-11\end{array}\right)=\frac{11}{2}\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right)$$

Comments

Besten Dank!! Hab das noch nie so einfach erklärt bekommen :)