Question

Normalverteilung, welche gemäss zentralem Grenzwertsatz Verteilung des arithmetischen Mittels approximiert?

Aufgabe:

Hi, ich habe hier eine Klausuraufgabe, die ich nicht wirklich verstanden habe. Habe zwar die Formeln, aber weiß nicht genau, ob die stimmen und ob ich noch etwas berechnen müsste .

Ich würde mich freuen, wenn sich das jemand anschauen würde.

Lg
Problem/Ansatz:

Answer 1

Hi, ich sehe nicht dass Du (c)  beantwortet hast.

Es gilt

$$P \left( \overline{X} > 4.2 \right) = 1 - P \left( \overline{X} \le 4.2 \right) = 1 - P \left( \frac{ \overline{X} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } } \le \frac{ 4.2 - \mu }{ \frac{ \sigma } { \sqrt{n} } } \right) \approx 1 - \Phi \left( \frac{ 4.2 - \mu }{ \frac{ \sigma } { \sqrt{n} } } \right)$$

Mit $\mu = 4$, $\sigma = 4$ und $n = 100$ folgt

$$P \left( \overline{X} > 4.2 \right) \approx 1 - \Phi \left( \frac{1}{2} \right) = 0.309$$

Comments

Genau c) hatte ich leider nicht hinbekommen. Das was du berechnet hast gehört zu c) oder?

Und wie sieht es mit a und b aus ? Ist das richtig ? Oder musste ich da auch was berechnen

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Hi,

ja, meine Rechnung gehört zu (c). Hast Du die rechnung verstanden?

Bei (a) hast Du ja nur die Summe anders geschrieben. Das reicht natürliuch nicht. Wie sehen den Erwartungswert und Varianz von $\overline{X}$ denn aus?

Bei (b) sieht die Standardisierung richtig aus. $Z = \frac{ \overline{X} - \mu }{ \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } }$ und diese Variable ist standardnormalverteilt, also $N(0,1)$

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Hmm sind Erwartungswert und Varianz nicht 4? Wie schreibe ich das denn auf?

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Und eine weitere frage: wie kann ich die wahrscheinlich anhand meiner Zeichnung ungefähr bestimmen? Weil ich ja 1- davor noch stehen habe verwirrt mich das, ich kann dann ja nicht einfach die 0,5 abtragen oder?

Habe es nämlich so versucht und da kam was anderes raus als bei dir  an so einer Zeichnung muss ich das lösen

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Hi,

ja $\mu$ und $\sigma^2$ sind jeweils $4$.

Aus dem Bild für $\Phi(z) = N(0,1)$ musst Du das Bild für $1 - \Phi(z)$ selbst berechnen. Das sieht dann so aus.

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Also muss ich davor diese Zeichnung noch machen um in die andere Zeichnung einzeichnen zu können? Das verstehe ich nicht so :(

Wenn ich 0,5 hier einzeichne komme ich auf x=0?

Und zu a) wo setze ich die beiden Werte ein?

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Zu (c)

Du kannst das Ergebnis auch aus Deiner Kurve für $\Phi(z)$ berechnen. Lese $\Phi(0.5) = 0.691$ ab und berechne $1 - 0.691 = 0.309$ s. Bild unten

Zu (a)

Hier musst Du die approximierte Normalverteilung von $\overline{X}$ angeben.

Der Erwartungswert von $\overline{X}$ ist $E( \overline{X} ) = \mu = 4$ und die Varianz von $\overline{X}$ ist $\text{Var} ( \overline{X} ) = \frac{\sigma^2}{ n } = \frac{4}{n}$

Also gilt $N( \overline{X} ) = N \left(4,\frac{4}{n} \right)$