Aloha :)
Zerlege das Integral in 2 Integrale:
$$\int\limits_{-2}^2\left(x^5\cos^3\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\,dx$$$$=\int\limits_{-2}^2\underbrace{x^5\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^2}}_{=:f(x)}\,dx+\int\limits_{-2}^2\underbrace{\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}}_{=:g(x)}\,dx=\pi$$Das Ergebnis \(\pi\) kannst du wie folgt begründen.
Schau dir den ersten Integranden mal genau an. Er ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, denn:
$$f(-x)=(-x)^5\cos^3\left(\frac{-x}{2}\right)\sqrt{4-(-x)^2}=-x^5\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^2}=-f(x)$$Das Integral von \(f(x)\) in \([-2;0]\) ist daher bis auf das Vorzeichen genauso groß wie das Integral von \(f(x)\) in \([0;2]\). In Summe ist das gesamte erste Integral \(=0\).
Das zweite Integral kannst du sofort hinschreiben, denn \(\sqrt{4-x^2}\) beschreibt für \(x\in[-2;2]\) einen Halbkreis mit Radius 2 oberhalb der x-Achse. Seine Fläche ist \(\frac{1}{2}\pi\cdot2^2=2\pi\). Mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) vor der Wurzelfunktion ergibt sich schließlich der Wert \(\pi\) für das zweite Integral.
