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kompliziertes Integral

Hallo liebe Experten,

ich rechne schon sehr lange an der Lösung folgenden Integrals:

$$\int_{-2}^2\left(x^5\cos^3\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\,dx$$

Unser Professor sagte, das Integral sei sehr einfach. Ich stehe aber irgendwie vor einer Wand. Hat jemand vielleicht einen Tip für mich?

von

Vielleicht hilft ausmultiplizieren und aufteilen des Integrals.

Hast du geschaut, ob du die Symmetrie des ersten Summanden ausnützen kannst?

1 Antwort

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Aloha :)

Zerlege das Integral in 2 Integrale:

$$\int\limits_{-2}^2\left(x^5\cos^3\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\,dx$$$$=\int\limits_{-2}^2\underbrace{x^5\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^2}}_{=:f(x)}\,dx+\int\limits_{-2}^2\underbrace{\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}}_{=:g(x)}\,dx=\pi$$Das Ergebnis \(\pi\) kannst du wie folgt begründen.

Schau dir den ersten Integranden mal genau an. Er ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, denn:

$$f(-x)=(-x)^5\cos^3\left(\frac{-x}{2}\right)\sqrt{4-(-x)^2}=-x^5\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\sqrt{4-x^2}=-f(x)$$Das Integral von \(f(x)\) in \([-2;0]\) ist daher bis auf das Vorzeichen genauso groß wie das Integral von \(f(x)\) in \([0;2]\). In Summe ist das gesamte erste Integral \(=0\).

Das zweite Integral kannst du sofort hinschreiben, denn \(\sqrt{4-x^2}\) beschreibt für \(x\in[-2;2]\) einen Halbkreis mit Radius 2 oberhalb der x-Achse. Seine Fläche ist \(\frac{1}{2}\pi\cdot2^2=2\pi\). Mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) vor der Wurzelfunktion ergibt sich schließlich der Wert \(\pi\) für das zweite Integral.

von 3,5 k

Oh Mann, das ist völlig einleuchtend, wenn man es so liest. Aber darauf muss man erstmal kommen... Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

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