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Was können Sie über die Konvergenz bzw. absolute Konvergenz der Reihen

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) (-1)n/(\( \sqrt[n]{n!} \)) und

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)  n!/((n+1)n)

sagen?

Hinweis: Es gilt n! ≤ nn


Beim ersten handelt es sich ja um eine Nullfolge und somit konvergiert die alternierende Reihe nach dem Leibnizkriterium. Oder???


Beim 2ten hätte ich jetzt das Wurzelkriterium genommen. Am Ende komme ich dann für n->unendlich auf 1. Was heißt das jetzt? Bzw. Wie mache ich da weiter?

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Schau mal hier, wie man schlecht lesbar Exponenten etwas vergrössern kann. https://www.mathelounge.de/646416/auf-stetigkeit-uberprufen-f-x-y-mit-verschiedenen-alpha

TeX anschauen.

1 Antwort

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a)

Zuerst einmal die absolute Konvergenz: Betrachte \(\sum_{n=1}^{\infty}{\left \lvert \frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}\right \rvert}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}}\). Hierbei ist \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) eine divergente Minorante, da:$$\frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \Leftrightarrow \sqrt[n]{n!}\leq n \Leftrightarrow n!\leq n^n$$ Also diverigert die Reihe absolut. Sie konvergiert allerdings, wie schon von dir gesagt, nach dem Leibnizkriterium bedingt. Alllerdings reicht es nicht aus, dass \(\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\) eine Nullfolge ist. Du musst darüber hinaus zeigen, dass die Folge monoton ist.

b)

Verwende das Quotientenkriterium:$$\left \lvert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right \rvert=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+2)^{n+1}}}{\frac{n!}{(n+1)^n}}=\frac{(n+1)!\cdot (n+1)^n}{(n+2)^{n+1}\cdot n!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1}} \overset{n\to \infty}\longrightarrow \frac{1}{e}<1$$

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1/n ist ja auch die harmonische Reihe. Hätte mir auffallen müssen2 :(.


Aber


Nur wie sieht das jetzt bei b aus?

Die habe ich mittlerweile schon hinzugefügt.

1/e > 1\(\) ?

1/e < 1    !

Ok alles klar. Also darf man n! Nicht einfach durch nersetzen wie ich das gemacht habe? Weil dadurch bin ich erst aufs Wurzelkriterium gekommen!

Zeig mal, wie du es gemacht hast!

Wie kann eine Reihe divergieren und gleichzeitig konvergieren? Das versteh ich gerade nicht.

@Maxi: Du darfst das Wort "absolut" nicht unterschlagen / überlesen.

Ja zu a.) Bezieht sich meine Frage. Da steht ja divergiert absolut und konvergiert bedingt. Was heißt das jetzt?

Das heisst z.B., dass bei a) die Reihenfolge der Summanden nicht beliebig vertauscht werden darf ohne dass sich das Resultat ändert.

Mal eine doofe Frage: Aber ist das bei a.) überhaupt eine Nullfolge? Werde mir der Sache zunehmen unsicherer....


Denn \( \sqrt[n]{n!} \) konvertiert doch gegen 1 oder?

Und wenn ich jetzt den Limes für 1/(\( \sqrt[n]{n!} \)) steht dann ja am Ende quasi 1/1 = 1 oder?? Damit wäre es ja keine Nullfolge.....



Wenn das so jetzt nicht stimmt. Könnte mir dann einer mal bitte den richtigen Beweis vorführen? Ich verzweifle hier echt

$$\infty \longleftarrow \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}n+1\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n!}\leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n!} \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}n+1 \longrightarrow \infty$$

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