Partielle Ableitung berechnen von f(x,y)=xy*sin(xy)

Question

Aufgabe:

Berechne für $f(x,y) = x^y * sin(xy)$ die partiellen Ableitungen $\frac{∂f}{∂x}$, $\frac{∂f}{∂y}$, $\frac{∂}{∂y} (\frac{∂f}{∂x})$ und $\frac{∂}{∂x} (\frac{∂f}{∂y})$. Vergleiche $\frac{∂}{∂y} (\frac{∂f}{∂x})$ und $\frac{∂}{∂x} (\frac{∂f}{∂y})$ auf Gleichheit.

Problem/Ansatz:

Ich soll hier die partielle Ableitung berechnen. Ich komme aber mit den ganzen ∂... durcheinander. Was ist was? Das bringt mich schon den ganzen Tag durcheinander und komme nicht voran. Könnt ihr mir bitte helfen?

Answer 1

$\frac{∂f}{∂x}$ bedeutet, das Du die Funktion nach x ableiten sollst.Dabei wird y wie eine Konstante betrachtet

(mittels Produktregel)

z.B.

Comments

Ok, soweit verstanden. Aber was ist mit der Ableitung von sin (xy)?

Ist das nicht cos (x) wenn y eine konstante ist?

Edit: Sorry, habe das y davor nicht gesehen.

---

...........................

---

Für $f_y(x,y)$ habe ich folgendes raus:

$f_y(x,y) = (ln x) x^y sin(xy) + x^{y+1} cos(xy)$

Ist das korrekt?

Wenn ja, was muss jetzt tun?

---

Ja , das stimmt. Jetzt must Du dieses letzte Ergebnis nach x ableiten und mein gerechnetes Ergebnis nach y ableiten

und dann beide Ergebnisse vergleichen.

---

Ist das eine Art Zusammenfassung? Macht man das generell so bei partiellen Ableitungen?

---

Nun ja die Aufgabe lautet eben so.

Aber es gilt allgemein: f_xy=f_yx

(Satz von Schwarz)