Verknüpfungen für den Körper F = {0,1,a,b} | Vorgehensweise gesucht

Question

Aufgabe:

Wie sehen die entsprechenden Verknüpfungen für den Körper $$ F_4 = \{ 0, 1, a ,b \} $$

Problem/Ansatz:

Die Lösung habe ich zwar, jedoch weiß ich nicht wie sich diese genau ergibt. Auch weiß ich, wie sich die Verknüpfungen für triviale Körper (zB F_4 = {0,1,2,3}) ergeben.

Lösung:

Comments

Tipp: In F₄ muss (1 + 1)·(1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 0 und damit 1 + 1 = 0 gelten. Es gibt (bis auf Isomorphie) nur einen Körper mit genau vier Elementen.

Answer 1

Fang doch mit der Multiplikation an:

1,a,b müssen also eine multiplikative Gruppe bilden.

Davon gibt es nur eine und dabei ist a*a=b und a*b=1

und b*a = 1 und b*b=a

Also Multiplikationstafel so, wie du sie angegeben hast.

Bleibt die Addition.

Da muss es schon mal so aussehen

                     0   1     a     b

                    --------------------
             0 |    0   1     a     b
             1 |   1
             a |   a
            b  |   b

wäre zu schauen, was in der 2. Zeile zu ergänzen ist ,

also welche Ergebnisse 1+1    1+a    1+b    haben könnten.

In Frage kommen in irgendeiner Reihenfolge  0   a   b .

Wäre etwa  1+1 = a   dann  müsste ja von  1+a und 1+b

einer 0 ergeben.  (1+a)*a = 0  hieße

                               a + a*a = 0

                               a+b = 0

Kann aber nicht sein, da ja  1+a = 0

und damit b=1 wäre.

Ebenso Kann auch 1+b nicht 0 sein, bleibt also nur

Entsprechend kann auch 1+1 nicht gleich b sein .

Bleibt also nur   1+1 = 0  .

Und dann bekommst du auch den Rest raus.