Stetigkeit von (1+x2)1/x in x0=0 beweisen?

Question

Ist $f(x)=\begin{cases}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} \text{ , falls } x>0 \\1 \quad \quad \quad \quad \text{, falls } x\leq 0\end{cases}$ überall stetig?

Beweis:

a) Warum ist $f|_{\mathbb{R}\backslash\{0\}}$ stetig?

$f$ ist für alle $\tilde{x}>0$ stetig, da die Konstituenten der Komposition $f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{x}}=(g\circ h)(x)$ mit $g: (0,\infty)\to \mathbb{R}, x\mapsto x^{\frac{1}{x}}$ und $h: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto 1+x^2$ jeweils stetig sind.

Für alle $\tilde{x}\leq 0$ ist $f$ ebenfalls stetig, da konstante Funktionen (Hier: $y=1$) stetig sind.

b) Warum ist $f$ in $x_0=0$ stetig?

Zu überprüfen gilt $x_0=0$. Um an diesem Punkt stetig zu sein, muss $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ gelten:

Rechtsseitiger Grenzwert$$L:=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} \iff \ln(L)=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(x^2+1)}{x}$$ Mit L'Hôpital folgt:$$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=0$$ Wir haben also summa summarum herausgefunden, dass $\ln(L)=0 \Leftrightarrow L=e^0=1$.

Linksseitiger Grenzwert$$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}1=1$$ ... damit stimmen links- und rechtseitiger Grenzwert überein und $f$ ist überall stetig.

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Fehlt dem Beweis noch irgendetwas? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich ohne weiteres $L:=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} \iff \ln(L)=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(x^2+1)}{x}$ annehmen darf. Gibt es ansonsten eventuell noch irgendwelche Lücken?

Comments

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich ohne weiteres ...

Du meinst, weil du ln und lim vertauscht und gleichzeitig noch ein Logarithmengesetz benutzt hast? Du könntest mehrere Schritte draus machen und nachschauen, ob jeder Schritt in euren Unterlagen mal gezeigt wurde.

Ebenso gleich nachher (2 Schritte): Nach dem Hospital hast du erst mal einen Doppelbruch mit dem Hauptnenner 1.

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Irgendeine Standard-Floskel muss da auf jeden Fall noch eingebaut werden. Vermutlich darf man das machen, da $(x^2+1)^{\frac{1}{x}}$ stetig ist, wie in a) gezeigt.

Answer 1

Mir fällt gerade auf, dass $$(1+x^2)^\frac{1}{x^2}$$ gegen e konvergiert, wenn x gegen 0 geht.

Es gilt nun  $$(1+x^2)^\frac{1}{x}=((1+x^2)^\frac{1}{x^2})^x$$

Comments

Das ist natürlich richtig, das hätte ich aber nicht auf den ersten Blick gesehen. Hast du irgendwas einzuwenden gegen meine Version?

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((1+x^2)^\frac{1}{x^2})^x

Darfst du denn an dieser Stelle die grosse Klammer erst gegen e gehen lassen und danach den Exponenten x gegen 0 ?

Nicht, dass ich dir das nicht glaube. Die Frage ist mehr. Was muss vorher gezeigt worden sein?

Oder soll das simultan geschehen?