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Aufgabe:

Gegeben ist ein endlicher dünner Stab (dies bedeutet, dass der Querschnitt vernachlässigt werden kann) der Länge l = 2 . An den Enden wird der Stab auf konstanter Temperatur von ''0'' gehalten. Den Wärmetransport beschreibt die partielle Differentialgleichung

ut = 3uxx .

Die Anfangstemperaturverteilung ist 4sin(6*pi*x).

Formulieren Sie die Anfangs-Randwertaufgabe und bestimmen Sie das Temperaturfeld u(x,t) des Stabes mit Hilfe des Separationsansatzes (Produktansatz). Einheiten sind zur Lösung dieser Aufgabe vernachlässigbar und die gegebenen Größen direkt zu verwenden.


Problem/Ansatz:

mein Skript zu dem Thema ist leider sehr minimalistisch gehalten, daher bin ich mir bereits in der Formulierung der Aufgabe nicht ganz sicher. Ich hätte jetzt gedacht,  dass die Aufgabe wohl so aussehen müsste:

δu(x,t)/δt =3* δ2u(x,t)/δx2

Für den Ort x im Stab gibt es nur eine Koordinate, da ja gesagt wird, dass der Querschnitt vernachlässigt werden kann, richtig?

Von dort an bilden sich bei mir nur noch große Fragezeichen...

Vielen Dank vorab für jede Antwort.

von

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Aloha :)

Gegeben ist die partielle DGL:$$\frac{\partial u}{\partial t}=3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\quad;\quad u(x,0)=4\sin(6\pi x)$$die mittels eines Separationsansatzes gelöst werden soll. Also wählen wir als Ansatz:$$u(x,t)=u(x,0)\cdot f(t)\quad;\quad f(0)=1$$und bilden die benötigten Ableitungen:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=u(x,0)\, f'(t)$$$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=u''(x,0)\, f(t)=-144\pi^2\sin(6\pi x)\cdot f(t)=-36\pi^2u(x,0)\,f(t)$$Beide Ableitungen setzen wir in die DGL ein:

$$u(x,0)\, f'(t)=3\left[-36\pi^2u(x,0)\,f(t)\right]=-108\pi^2\,u(x,0)\,f(t)$$$$\Rightarrow\;\;f'(t)=-108\pi^2\,f(t)\;\;\Rightarrow\;\;\frac{f'(t)}{f(t)}=-108\pi^2\;\;\Rightarrow\;\;\ln[f(t)]=-108\pi^2t+c$$$$\;\;\Rightarrow\;\;f(t)=e^{-108\pi^2t+c}\;\;\Rightarrow\;\;f(t)=e^c\cdot e^{-108\pi^2t}$$Wegen der Randbedingung \(f(0)=1\) muss die Integrationskonstante \(c=0\) bzw. \(e^c=1\) sein.

$$u(x,t)=4\,\sin(6\pi x)\cdot e^{-108\pi^2\,t}$$

von 18 k

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