Wurzelgleichung lösen

Question

Aufgabe Wurzelgleichung lösen:

\( \sqrt{5 x-56}=\sqrt{x+12}-\frac{10}{\sqrt{x+12}} \)

Mein Lösungsansatz ist:

\( (5 x-56)^{\wedge} 2=\left(\sqrt{x+12}-\frac{10}{\sqrt{x+12}}\right)^{\wedge} 2 \\ \Leftrightarrow 5 x^{\wedge} 2-2 * 5 x * 56-56^{\wedge} 2=\sqrt{x+12}^{\wedge} 2-2 * \sqrt{x+12} * \frac{10}{\sqrt{x+12}}-\left(\frac{10}{\sqrt{x+12}}\right)^{\wedge} 2 \\ \Leftrightarrow 5 x^{\wedge} 2-560 x-56^{\wedge} 2=x+12-2 * \sqrt{x+12}-\frac{10}{\sqrt{x+12}}-\left(\frac{10}{\sqrt{x+12}}\right)^{\wedge} 2 \\ \Leftrightarrow 5 x^{\wedge} 2-559 x-3148=-2 * \sqrt{x+12}-\frac{10}{\sqrt{x+12}}-\frac{100}{x+12} \\ \Leftrightarrow 5 x^{\wedge} 2-559 x-3148+\frac{100}{x+12}=-2 * \sqrt{x+12}-\frac{10}{\sqrt{x+12}} \\ \Leftrightarrow-2,5 x^{\wedge} 2+279,5 x+1574+\frac{\frac{100}{x+12}}{2}=\sqrt{x+12}-\frac{10}{\sqrt{x+12}} \)

Ich fürchte, ich habe hierbei schon etwas falsch gemacht, denn als Lösung sollte IL={13} raus kommen.

Answer 1

√(5·x - 56) = √(x + 12) - 10/√(x + 12)   | *√(x + 12)

√(5·x - 56)·√(x + 12) = (x + 12) - 10

√(5·x - 56)·√(x + 12) = x + 2   | ()^2

5·x^2 + 4·x - 672 = x^2 + 4·x + 4

4·x^2 - 676 = 0

x^2 = 169

x = ± 13

-13 liegt hier allerdings nicht im Definitionsbereich. Daher ist nur 13 eine Lösung.