Differenzieren von analytischen Ausdrücken

Question

Aufgabe:

Differenzieren sie die angegeben analytischen Ausdrücke und schließen sie diejenigen Werte aus, für die keine Ableitung existiert.

$${ d ) \quad y = 5 x ^ { 2 } \operatorname { sin } 2 x } \\ { \text { b) } y = \sqrt { \operatorname { tan } x } } \\ { \text { e) } y = \frac { 1 - \operatorname { cos } ^ { 2 } x } { 1 + \operatorname { cos } ^ { 2 } x } }$$

Wie gehe ich vor? Ist es "normales Ableiten"?

Eine Schrittanleitung wäre hilfreich.

Answer 1

Aloha :)

zu d) Produktregel, dann Kettenregel:$$\left(\underbrace{5x^2}_{=u}\,\underbrace{\sin\alpha x}_{=v}\right)'=\underbrace{10x}_{u'}\,\underbrace{\sin\alpha x}_{=v}+\underbrace{5x^2}_{=u}\,\underbrace{\left(\sin\alpha x\right)'}_{=v'}$$$$=10x\,\sin\alpha x+5x^2\cdot\underbrace{\cos\alpha x}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\alpha}_{\text{innere}}=10x\,\sin\alpha x+5\alpha x^2\,\cos\alpha x$$

zu b) Kettenregel, dann Quotientenregel:$$\left(\sqrt{\tan x}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(\tan x\right)'}_{\text{innere}}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'$$$$=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2 x}_{=v^2}}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot\left(1+\tan^2x\right)$$Wichtig ist hier noch, dass $\tan x\ge0$ gelten muss, damit die Wurzel definiert ist und dass in der Ableitung sogar $\tan x>0$ gelten muss, damit man nicht durch $0$ dividiert. [Das ist in der Aufgabe auch gefragt!]

zu e) Quotientenregel und Kettenregel:

$$\left(\frac{\overbrace{1-\cos^2x}^{=u}}{\underbrace{1+\cos^2x}_{=v}}\right)'$$$$=\frac{\overbrace{\overbrace{-2\cos x}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{\text{innere}}}^{=u'}\cdot\overbrace{(1+\cos^2x)}^{=v}-\overbrace{(1-\cos^2x)}^{=u}\cdot\overbrace{\overbrace{2\cos x}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{\text{innere}}}^{=v'}}{\underbrace{(1+\cos^2x)^2}_{=v^2}}$$$$=\frac{2\sin x\,\cos x\cdot(1+\cos^2x)+2\sin x\,\cos x\cdot(1-\cos^2x)}{(1+\cos^2x)^2}$$$$=\frac{4\sin x\,\cos x}{(1+\cos^2x)^2}$$

Comments

Hallo Tschaka,
die " 2 " in der ersten Zeile der Aufgabe sieht
aber dem " α " in der 2.Zeile sehr ähnlich.
Ich vermute einmal beides " 2 ".

(* Scherzmodus ein *)
Bauernregel des Tages:
Verliert der Bauer im August die Hose
war im Juli das Gummiband schon lose.

Fernsehkommentar Natursendung
Quallen : sie schwimmen schon seit 200 Mio
Jahren im Ozean und haben kein Hirn.
(* Scherzmodus aus *)

---

Aloha Georg :)

Stimmt, von der Handschrift her könnte das $\alpha$ auch eine 2 sein... aber im Vergleich zu den anderen 2en ist der "Hals" etwas zu kurz. Nunja, ist ja nicht schlimm, Polly kann gegebenenfalls in der Rechnung $\alpha$ durch 2 ersetzen und dann das Endergebnis sogar nicht etwas weiter ausrechnen.

Answer 2

Wie gehe ich vor? Ist es "normales Ableiten"?

Ja. Du kannst erst mal "normal" ableiten.

Dann aber vor und nach der formalen Ableitung untersuchen an welchen Stellen die Funktion und die Ableitung überhaupt definiert (eindeutig und vermutlich reell) ist.

schließen sie diejenigen Werte aus, für die keine Ableitung existiert.

"Werte" sollte hier nicht stehen, da damit in der Regel auf y-Werte gemeint sind.

Vielleicht steht da x-Werte oder Stellen.

Answer 3

5 * x² * sin (2x)
Konstantenregel, Produktregel, Kettenregel
(u * v ) ´ = u´* v + u * v´
u = x²
u´ = 2x
v = sin(2x);
v ´= cos ( 2x ) * 2
2x * sin(2x)  +  x² * cos(2x) * 2
[ 5 * x² * sin (2x) ] ´ =
5 * [ 2x * sin(2x)  +  x² * cos(2x) * 2 ]

Answer 4

b) √tanx = √(sinx/cosx) = (sinx/cosx)^(1/2) = (sinx)^(1/2)/(cosx)^(1/2)

c) 1- cos²(x) = sin²(x)