wie kann man zeigen, dass die eine funktion größer ist als die andere?

Question

wie kann ich zeigen dass f(x) < g(x) auf einem bestimmten intervall gilt?

ich wollte zwei x stellen nehmen und die vergleichen also x=1 für f(x) und x=1 für g(x) und wer das größere y wert hat, ist die größere funktion, geht das?

Comments

also x=1 für f(x) und x=1 für g(x)

Dann hast du es nur für die Stelle x=1 gezeigt.

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wie macht man das dann aufm ganzen intervall?

Answer 1

Da gibt es verschieden Möglichkeiten.

1. Bilde \( h(x) = f(x) - g(x) \) und berechnen die Funktion \( h(x) \) explizit und beweise, dass für die Funktion \( h(x) > 0 \) gilt.

Z.B. bei den Funktionen \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = x \). Dann folgt \( h(x) = x ( x -  1) \). Damit sieht man das für \( h(x) \) z.B. auf dem Intervall \( [2 , 3] \) gilt \( h(x) > 0 \)

2. Wenn die Funktion \( h(x) \) streng monoton steigend ist, wenn also gilt \( h'(x) > 0 \) gilt und wenn auf dem Intervall \( [a,b] \) \(h(a) > 0 \) gilt. Dann gilt das auch für das ganesamte Intervall \( [a,b] \)

Ähnliches kann man auch für streng monoton fallende Funktion formulieren.

Comments

1. Bilde h(x)=f(x)−g(x) und berechnen die Funktion h(x) explizit und beweise, dass für die Funktion h(x)>0 gilt.

die differenzfunktion h(x) soll also beweisen können, dass f(x) kleiner oder gleich g(x) auf einem bestimmten intervall ist? wie das?

mit deinem beispiel oben: h(x) = x^2 - x = h(x) = x und nun?

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Vielleicht liest Du Dir das Beispiel mal genauer durch, und für \( h(x) \) gilt nicht \( h(x) = x \) sondern \( h(x) = x(x-1) \). Dann mal das angegebene Intervall genauer betrachten.