Summe von (n^2 + 2n)/ 3^n

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n}\)*(n+2) /(3ⁿ)

Es ist der genaue Wert dieser Summe zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Dass der Grenzwert der Summe recht rasch gegen 0 geht kann man schnell durch einsetzen rausfinden bzw. wissen indem man den Satz kennt, dass jede Exponentialfunktion für n gegen unendlich stärker steigt als jede Potenzfunktion. Es fällt auch schnell genug damit nicht der Fall einer harmonischen Reihe eintritt. Also existiert ganz sicher ein Grenzwert für die Summe. Aber wie rechne ich den genauen Wert der Summe aus?

LG LexPride

Answer 1

Bekanntlich gilt für \(-1<x<1\) die geometrische Reihe$$f(x)=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$$$f^\prime(x)=\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n$$$$f^{\prime\prime}(x)=\frac2{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)(n+2)x^n$$$$f^{\prime\prime}(x)-f^\prime(x)-f(x)=\sum_{n=0}^\infty(n^2+2n)x^n.$$Setze nun  \(x=\frac13\).

Comments

Super, ein geschultes Auge!! Ich habe mir gerade den Kopf darüber zerbrochen.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Kommt dieser Trick allgemein für Potenzreihen, die geometrische Reihen beinhalten, öfters zum Tragen?

Answer 2

Sei \(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{n(n+2)}{3^n}}\). Die Reihe ist nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent, d. h. es exisitiert ein finiter Grenzwert.

Ein weiterer Ansatz ist es, den Teleskop-Trick zu verwenden:

Nehme an, dass \(\frac{n(n+2)}{3^n}=a_n-a_{n+1}\), dann folgt, dass \(a_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2\cdot 3^{n-1}}\)  Also:$$\sum_{n=0}^{N-1}{\frac{n(n+2)}{3^n}}=(a_0-a_1)+(a_1-a_2)+\dots+(a_{N-1}-a_N)=a_0-a_{N}=3-a_N$$ $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{n(n+2)}{3^n}}=3-\lim_{N\to \infty}a_N=3-0=3.$$

Comments

Nehme an, dass n(n+2)/3ⁿ=an−an+1, dann folgt, dass an=(n+1)(n+2)/2⋅3^n-1

Ich steig bei der Zeile leider aus, da ich nicht sehe wie du von deiner linken Gleichung auf die rechte kommst. Könntest du den Schritt etwas genauer ausführen?

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Um ehrlich zu sein, habe ich mit WolframAlpha geschummelt. Siehe hier. Du kannst aber mal googeln, wie man "Recurrence equations" löst.