0 Daumen
2,7k Aufrufe

Ich brauche wieder mal Hilfe bei einer  Aufgabe, weil sich irgendwie meine Lösung von der vorgegebene Musterlösung unterscheidet . Bitte um eine Erklärung, warum dies der Fall ist.

Aufgabe: "Man finde eine Basis der Lösungsmenge des (homogenen) linearen Gleichungssystems x1 + x2 + x3 = x4 ; 2x1 + x2 + x3 = 2x4 ; x1 = x4 "

Meine Lösung: 

\(\begin{pmatrix} 2 & 1& -3& -1 \\ 1& -1& 0& 1 \\ 0& 1& 2& -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

\(\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 2& 1& 1& -2 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix} \)

Hier habe ich von der zweiten Zeile das 2-fache der dritten Zeile abgezogen:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix} \)
Hier habe ich die erste Zeile von der dritten abgezogen:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 0& -1& -1& 1 \end{pmatrix} \)

Hier habe ich die zweite Zeile zu der dritten Zeile addiert:
\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}
Somit entsteht in der vierten Zeile die Gleichung:

1x4 = 0 -> Die Gleichung ist erfüllt, wenn x4 = 0 ist.

Als beispiel habe ich x3 = t gesetzt und so lautet die zweite Zeile:

x2 + t - 0x4 = 0 -> x2 = -t

Und dann in die erste Zeile setzen:

x1 - t + t = 0 -> x1 = 0


Also:

\(\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -t \\ t\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \)t

Vielen Dank im Voraus.

Avatar von

Habe es verbessert.

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

So eine Basis ist ja nicht eindeutig bestimmt (Daher der unbestimmte Artikel.).

Statt \(\begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \) wäre auch jedes Vielfache

(nicht 0-Vektor) ein geeigneter Basisvektor, etwa

 \(\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \)

oder auch

 \(\begin{pmatrix} 0\\ -12 \\ 12\\ 0 \end{pmatrix} \)

Avatar von 287 k 🚀

Ich glaube es ist besser wenn ich noch die Musterlösung poste.

Musterlösung:

Wähle x3 = t beliebig, x4 = d beliebig, dann x1 = d ; x2 = -t und so

\(\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d\\ -t \\ t\\ d \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \) + d\(\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \)

Basis: \(\begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \)

Aha, dann hast du nicht das ganze Gleichungssystem beachtet:

x1 + x2 + x3 = x4

 2x1 + x2 + x3 = 2x4

 x1 = x4

Du musst ja mal erst schauen wie viele

Variablen du frei wählen kannst.

Die zugehörige Matrix wäre doch

1     1      1      -1
2     1      1      -2
1     0       0      -1

auf Zeilenstufenform gebracht:

2     1      1      -2
0     1      1      0
0      0     0       0

und hier siehst du: rang=2

aber 4 Variable. Du kannst also 2 davon frei

wählen, etwa x3 = t und x4=s wie in der

Musterlösung. So erhältst du in der Tat

zwei Basisvektor.  Deiner erzeugte zwar auch

einige Lösungen, aber nicht alle.

Ach so, aber woran erkenne ich denn dieses rang = 2 ?

Und welche 4 Variablen meinst du?

Variablen x1,x2,x3,x4.

Rang erkennst du an der Stufenform:

Anzahl der von der Nullzeile verschiedenen

Zeilen.

Ach so, jetzt verstehe ich alles.

Vielen Dank für deine Hilfe.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community