Ich brauche wieder mal Hilfe bei einer Aufgabe, weil sich irgendwie meine Lösung von der vorgegebene Musterlösung unterscheidet . Bitte um eine Erklärung, warum dies der Fall ist.
Aufgabe: "Man finde eine Basis der Lösungsmenge des (homogenen) linearen Gleichungssystems x1 + x2 + x3 = x4 ; 2x1 + x2 + x3 = 2x4 ; x1 = x4 "
Meine Lösung:
\(\begin{pmatrix} 2 & 1& -3& -1 \\ 1& -1& 0& 1 \\ 0& 1& 2& -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
\(\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 2& 1& 1& -2 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix} \)
Hier habe ich von der zweiten Zeile das 2-fache der dritten Zeile abgezogen:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix} \)
Hier habe ich die erste Zeile von der dritten abgezogen:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 0& -1& -1& 1 \end{pmatrix} \)
Hier habe ich die zweite Zeile zu der dritten Zeile addiert:
\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}
Somit entsteht in der vierten Zeile die Gleichung:
1x4 = 0 -> Die Gleichung ist erfüllt, wenn x4 = 0 ist.
Als beispiel habe ich x3 = t gesetzt und so lautet die zweite Zeile:
x2 + t - 0x4 = 0 -> x2 = -t
Und dann in die erste Zeile setzen:
x1 - t + t = 0 -> x1 = 0
Also:
\(\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -t \\ t\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \)t
Vielen Dank im Voraus.
