Standardisierte Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit $$\mu = 1 \ und \ \sigma^2 = 4$$

Man ermittle:$$P(|X-\mu| \leq \ a) = 0,95$$

Problem/Ansatz:

Also um die standardisierte Normalverteilung anzuwenden benutze ich erstmal sigma und nicht sigma^2 also 2.

Dann löse ich den Betrag auf und habe schlussendlich so etwas:

$$P(X\leq a+\mu ) - P(X\leq (-a-\mu)) = 0,95 \\ \ \Rightarrow\Phi\left(\frac{(a+\mu)-1}{2}\right) - \Phi\left(\frac{(-a-\mu)-1}{2}\right) = 0,95$$

Aber was nun?

Answer 1

$$ \Phi\left(\frac{(\mu + a)-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{(\mu - a)-\mu}{\sigma}\right) = 0,95\\ \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-a}{\sigma}\right) = 0,95\\ \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) - \left(1 - \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right)\right) = 0,95\\ 2 \cdot \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) - 1 = 0,95\\ 2 \cdot \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) = 1 + 0,95\\ \Phi\left(\frac{a}{\sigma}\right) = 0,5 + \frac{0,95}{2}\\ \frac{a}{\sigma} = \Phi^{-1}\left(0,5 + \frac{0,95}{2}\right)\\ a = \Phi^{-1}\left(0,5 + \frac{0,95}{2}\right) \cdot \sigma\\ a = 1.960 \cdot 2\\ a = 3.92 $$