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Hallo @all,

wir hatten in der Vorlesung folgende Substitutionsregel:

$$\int_V\phi(x,y,z)\,dxdydz=\int_V\tilde \phi(u,v,w)\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\,dudvdw$$

Die 3 Koordinaten x,y und z werden dabei durch 3 neue Koordinaten u,w und w ausgedrück, also x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) und z=z(u,v,w). Das habe ich verstanden. Mir ist nicht klar, was dieser Bruch mit den partiellen Delta-Ableitungen zu bedeuten hat. Ich habe im Internet schon gesucht und gefunden, dass es sich um eine Determinante aus partiellen Ableitungen handelt. Aber die Erklärungen dazu habe ich nicht verstanden. Warum braucht man eine solche Determinante?

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Aloha :)

Du kannst das als erweiterte Substitutions-Regel ansehen:

$$dx\,dy\,dz=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\,du\,dv\,dw$$

Der "Bruch mit den partiellen Delta-Ableitungen" steht symbolsich für die sog. "Funktionaldeterminante":

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\left|\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} &\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} &\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} &\frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right|$$Du musst also einfach die partiellen Ableitung von x(u,v,w) in die erste, die von y(u,v,w) in die zweite und die von z(u,v,w) in die dritte Zeile der Determinante schreiben.

Wichtig ist, warum man diese Determinante benötigt und was ihre eigentliche Bedeutung ist. Die Determinante gibt allgemein die Größe des Volumens an, das von den Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannt wird. (Da die Determinante einer Matrix gleich der Determinante der transponierten Matrix ist, ist es egal, ob die Vektoren als Spalten oder als Zeilen eingetragen werden.) Das Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz\) wird im allgemeinen eine andere infinitesimale Größe haben als das Volumenelement \(d\tilde V=du\,dv\,dw\). Die Funktionaldeterminante korrigiert diesen infinitesimalen Volumenunterschied.

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Vielen Dank, jetzt ist mir sogar die Bedeutung klar geworden!

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