Question

Forme die Summe so um, dass sich ein einzelner Logarithmusterm zur Basis 10 ergibt.

$\frac{3}{2} \cdot \log _{a}(x+y)+\frac{1}{2} \lg (x+y)+\lg x+\lg y=$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\lg (x+y)}{\lg a}+\frac{1}{2} \lg (x+y)+\lg x+\lg y=$
$\lg (x+y)^{\frac{3}{2 \lg a}}+\lg (x+y)^{\frac{1}{2}}+\lg x+\lg y=$
$\lg \left((x+y)^{\frac{3}{2 \lg a}} \cdot(x+y)^{\frac{1}{2}} \cdot x \cdot y\right)=$
$\lg \left((x+y)^{ \left.\frac{3}{2 \lg a^{+}}-x \cdot y\right)}=\right.$
$\lg \left((x+y)^{\frac{3+\lg a}{2 \lg a}} \cdot x \cdot y\right)$

Answer 1

hallo

in zeile 1 sehen wir den term 3/2 log_a(x+y).

die basis des numerus (x+y) wird gewechselt.

es gilt log_ax = lg(x) / lg(a), also,

(3/2) * log_a(x+y) = (3/2) * lg(x+y)/lg(a).

das lässt sich als  (3/2) * lg(x+y)/lg(a) = 3/(2*lg(a)) *  lg(x+y) = lg(x+y) ^3/(2*lg(a)) schreiben.

das übrige zusammenfassen geschieht nur hauptsächlich noch durch anwendung der logarithmusgesetze.

aus (1/2) lg(x+y) wird lg(x+y)^1/2 und aus lg(x) + lg(y) wird lg(x*y)

mit den eben berechneten zwischenschritten können wir die erste zeile direkt umformen:

(3/2)log_a(x+y) + (1/2)lg(x+y) + lgx + lgy =

lg(x+y) ^3/(2*lg(a)) + lg(x+y)^1/2 + lg(x*y) =

lg ( (x+y) ^3/(2*lg(a)) * (x+y)^1/2 * x*y ) =

jetzt nur noch ein potenzgesetz anwenden und den bruch im exponenten auf einen hauptnenner bringen.

lg ( (x+y) ^{3/(2*lg(a))+1/2} * x*y ) =

lg ( (x+y) ^{3/(2*lg(a))+lg(a)/(2*lg(a))} * x*y ) =

lg ( (x+y) ^{(3+2)/(2*lg(a))} * x*y )