Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen bei zweimaligem Würfeln

Question

Aufgabe:

Prüfen sie die Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.
A) Ein Würfel wird zweimal geworfen.

A sei das Ereignis, dass im zweiten
Wurf eine 1 fällt.

B sei das Ereigniss, dass die Augensumme 5 beträgt.

Problem/Ansatz:

P(A) = 1/6

P(B)= 1/9

um die Unabhängigkeit zu beweisen muss man ja P(AnB)= P(A)*P(B) aufstellen. Ich verstehe nicht warum P(AnB) 1/36 und nicht 1/6. Weil es soll ja beim zweiten Wurf eine 1 geben(dafür gibt es ja 4 Möglichkeiten)  und die Augensumme soll 5 betragen und dafür gibt es nur eine Möglichkeit. → also 1/6

Answer 1

Ein Würfel wird zweimal geworfen. A sei das Ereignis, dass im zweiten Wurf eine 1 fällt. B sei das Ereignis, dass die Augensumme 5 beträgt.

P(A) = P(11, 21, 31, 41, 51, 61) = 1/6
P(B) = P(14, 23, 32, 41) = 1/9
P(A ∩ B) = P(41) = 1/36

P(A ∩ B) ≠ P(A)·P(B) → stochastisch abhängig

Comments

Warum ist P(A ∩ B) nicht 1/6? Es gibt ja 6 Möglichkeiten, dass die 1 als zweites fällt und davon bildet nur eine die Augensumme 5. Also 1/6 und nicht 1/36 oder?

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Die einzige Kombination die hinten eine 1 und als Augensumme 5 hat ist das Tupel (4,1). Oben geschrieben als 41. Und das ist ein Tupel von Insgesamt 36 Tupeln. Man bildet hier keine bedingte Wahrscheinlichkeit!

Was du berechnen wolltest ist

P(B | A) = 1/6

Also wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 5 ist unter der Bedingung das der zweite Wurf eine 1 ist.

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Vielen Dank, hab es nun verstanden!

Answer 2

Nur das Tupel (4,1) erfüllt beide Bedingungen, gehört also zu beiden Ereignissen.

Answer 3

	1	2	3	4	5	6
1	A	A	A	AB	A	A
2			B
3		B
4	B
5
6

Waagerechte obere Zeile: erster Würfel

Linke senkrechte Spalte: zweiter Würfel

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36 Ergebnisse insgesamt

6 von 36 → A

4 von 36 → B

1 von 36 → A und B (Schnittmenge)