Entscheiden Sie, ob die Matrix diagonalisierbar ist. Bestimme ggfs eine Basiswechselmatrix.

Question

folgende Aufgabe und würde bitte, ob mir jemand sagen kann, ob das richtig ist:

1	1	0	0
0	1	0	1
0	2	1	0
0	1	0	1

 ∈Mat₄(F₃)

Entscheiden Sie, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist. Bestimmen Sie gffs eine Basiswechselmatrix.

Lösung:

Ich habe erst mal die obenstehende Matrix umgeformt zu

1	1	0	0
0	1	0	1
0	0	1	1
0	0	0	0

 Wegen obere Dreiecksmatrix komme ich auf das CharPol (1-T)^3.(-T) und somit auf die Eigenwerte 1 und 0. Wegen ³ gibt es den Eigenwert 1 dreimal und Eigenwert 0 einmal. Also 4 und somit diagonalisierbar. Soweit richtig?

Dann habe ich weiter die Eigenvektoren berechnet und komme auf

1	0
0	0
0	1
0	0

für E₁

und

1

-1

-1

1

für E₀.

und wegen dem ³ aus dem CharPol und dimE_i=3 diagonalisierbar.

Bei der Basiswechselmatrix komme ich also auf

1	0	1
0	0	-1
0	1	-1
0	0	0

für T

nun gilt ja T^-1xAxT=D

aber T ist nicht quadratisch und kann somit nicht invertiert werden...

Hoffe auf Hilfe! LG

Answer 1

Für das char. Polynom musst du die originale

Matrix nehmen, nicht erst umformen.

Das gibt x*(x-2)(x-^)^2

Eigenvektor zum EW o ist dann etwa

1
-1
2
1

und zum EW 2
1
1
2
1

und zur 1 ist der Eigenraum 2-dim
Basis etwa 
1        und     0
0                   0
0                   1
0                   0

Damit ist die Matrix  T =

1     1     1     0
-1    1    0     0
2     2    0      1
1     1    0      0

und du erhältst die Diag,matrix mit

0 , 2 , 1 , 1 in der Hauptdiag.

Answer 2

Aloha :)

Eine \(n\times n\)-Matrix ist diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus \(n\) voneinander unabhängigen Eigenvektoren gibt. Wir schauen uns also erstmal die Eigenwerte der Matrix \(A\) an:$$\left|A-\lambda\cdot1\right|=\left|\begin{array}{c}1-\lambda & 1 & 0 & 0\\0 & 1-\lambda & 0 & 1\\0 & 2 & 1-\lambda & 0\\0 & 1 & 0 & 1-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)^2\left|\begin{array}{c}1-\lambda & 0 & 1\\2 & 1 & 0\\1 & 0 & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$=(1-\lambda)^2\left|\begin{array}{c}1-\lambda & 1\\1 & 1-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)^2\cdot\left((1-\lambda)^2-1\right)$$$$=(\lambda-1)^2\cdot(\lambda^2-2\lambda+1-1)=(\lambda-1)^2\lambda(\lambda-2)\stackrel{!}{=}0$$$$\Rightarrow\quad\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$Die zugehörigen Eigenvektoren sind:

$$\vec v_1=x_4\left(\begin{array}{c}1\\-1\\2\\1\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec v_2=\left(\begin{array}{c}x_1\\0\\x_3\\0\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec v_3=x_4\left(\begin{array}{c}1\\1\\2\\1\end{array}\right)$$Beachte, dass wir für den doppelten Eigenwert \(\lambda_2=1\) zwei Eigenvektoren angeben können. Die Diagonalmatrix hat als Diagonaleinträge die Eigenvektoren:$$D=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$Die Basiswechselmatrix hat die Eigenvektoren als Spalten:

$$T=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0 & 1\\2 & 0 & 1 & 2\\1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad T^{-1}=\left(\begin{array}{c}0 & -0,5 & 0 & 0,5\\1 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & -2\\0 & 0,5 & 0 & 0,5\end{array}\right)$$Damit gilt:$$A=TDT^{-1}$$