Basiswechsel von B1 zu B2

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Im Vektorraum } R^{3} \text { seien die beiden Basen }} \\ {\qquad B_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)\right\}} & {B_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{0} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {-1} \\ {3}\end{array}\right)\right\}} \\ {\text { gegeben. }}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { a) Berechnen Sie die Transformationsmatrix } B_{2} T_{B_{1}} \text { , die einen Von Basis } B_{1} \text { in Basis } B_{2}} \\ {\text { transformiert. }} \\ {\text { b) Stellen Sie }\left(\begin{array}{l}{2} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right) \text { in der Basis } B_{2} \text { dar. Verwenden sie die Matrix }_{B_{2}} T_{B_{1}} \text { . }} \\ {\text { c) Stellen Sie }\left(\begin{array}{l}{-2} \\ {-1} \\ {4}\end{array}\right) \text { in der kanonischen Basis dar. }}\end{array} $$

$$ \left(\begin{array}{ccc}{L \ddot{o} \operatorname{sung} : B_{2} T_{B_{1}}} & {=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{7}{8}} & {\frac{1}{8}} & {\frac{7}{4}} \\ {\frac{1}{2}} & {-\frac{1}{2}} & {0} \\ {-\frac{1}{8}} & {\frac{1}{8}} & {-\frac{1}{4}}\end{array}\right)}\end{array} ; \quad\left(\begin{array}{l}{2} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right)_{B_{1}}=\left(\begin{array}{c}{\frac{29}{4}} \\ {0} \\ {-\frac{3}{4}}\end{array}\right)_{B_{2}} ; \quad\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {-1} \\ {4}\end{array}\right)_{B_{2}}=\left(\begin{array}{c}{-6} \\ {-4} \\ {9}\end{array}\right)\right) $$

Problem/Ansatz:

Komme fürr a auf ein ganz anderes Ergebnis

habe $$\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 \\ 1 & -2 &-1\\1 & 1 & 3\\  \end{pmatrix}$$ invertiert um auf B₂T_B1 zu kommen

Comments

$$\begin{pmatrix} 5/8 & 1/8 &2/8 \\ 1/2 & -1/2 & 0\\-3/8 & 1/8 & 2/8\\  \end{pmatrix}$$

mein Ergebnis

Answer 1

Setzen wir mal die Basen je in eine Matrix ein:

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &2 \\ 0 & 1 &2\\1 & 1 & 1\\  \end{pmatrix}$$

$$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 \\ 1 & -2 &-1\\1 & 1 & 3\\  \end{pmatrix}$$

Da es geht es ja darum, dass du die Koordinaten eines Vektors v bezüglich

der ersten Basis hast, also

$$v = A*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

und du möchstest sie Koordinaten ( mit ' dran ) bezüglich der 2. Basis haben,

also

$$v = B*\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix}$$.

Dann muss ja gelten

$$A*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = B*\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix}$$

Diese Gleichung von links mit B^(-1) multipliziert gibt

$$B^{-1}*A*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix}$$

Also ist B^(-1)*A die gesuchte Matrix und da bekomme ich fast das Gleiche wie in

der Musterlösung nur in der 2. Spalte  statt 1/8 jeweils 3/8.

Comments

Dann noch die Frage wie ich sowas direkt sehe, wonach gefragt ist?

Also wie ich diese T irgendwas lesen muss um das zu sehen.

Will mich gern auf die Darstellung T_M^M gewöhnen, verstehe die Schreibweisen noch nicht so.

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T^B_A merke ich mir so:

Ich habe die Koordinaten bezüglich A und möchte

sie gern bezüglich B . Also Basiswechsel von A nach B.

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Koordinaten sind jetzt die Werte für x und y?

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Genau!  x,y,z und x' , y' und z'.

z.B. bei c) sind die -2 , -1, 4 die

Koordinaten bzgl B2. Und um das durch die

kanonische Basis auszudrücken muss man

nur rechnen

-2* (1.Basisvektor von B2) + (-1)*(2.Basisv. von B2) + 4*(3. Basisv. von B2)