Aloha :)
Lass dich durch das Vektorprodukt nicht irritieren. Das funktioniert im Prinzip nach demselben Schema wie das übliche Kurvenintegral:
$$\int\limits_C\vec A\times d\vec r=\int\limits_0^1\vec A(t)\times \frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}t^2\cdot 2t\\-t^3\\(t^2)^2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}2t\\2\\3t^2\end{array}\right)\,dt$$$$=\int\limits_0^1t^3\left(\begin{array}{c}2\\-1\\t\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}2t\\2\\3t^2\end{array}\right)\,dt=\int\limits_0^1t^3\left(\begin{array}{c}-3t^2-2t\\2t^2-6t^2\\4+2t\end{array}\right)\,dt=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}-3t^5-2t^4\\-4t^5\\4t^3+2t^4\end{array}\right)\,dt$$$$=\left[\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}t^6-\frac{2}{5}t^5\\-\frac{2}{3}t^6\\t^4+\frac{2}{5}t^5\end{array}\right)\right]_0^1=\left(\begin{array}{c}-\frac{9}{10}\\-\frac{2}{3}\\\frac{7}{5}\end{array}\right)$$
