Summenformel für die ersten paar natürlichen Zahlen beweisen

Question

 Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Formel für alle n Element von N durch vollständige Induktion.

Vollständige Induktion für:

$$\sum_{k=1}^{n}(1-k)=0,5 n(1-n)$$

Answer 1

Aloha :)

$$s_n=\sum\limits_{k=1}^n(1-k)=0,5n(1-n)$$Verankerung bei n=1:$$s_1=\sum\limits_{k=1}^1(1-k)=1-1=0\quad;\quad0,5\cdot1\cdot(1-1)=0\quad\checkmark$$

Induktionsschritt: \(n\to n+1\):$$s_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}(1-k)=\sum\limits_{k=1}^{n}(1-k)+(1-(n+1))$$$$=0,5n(1-n)-n=0,5n-0,5n^2-n=-0,5n^2-0,5n$$$$=-0,5n(n+1)=0,5(n+1)(-n)=0,5(n+1)(1-(n+1))\quad\checkmark$$

Answer 2

Bis auf Indexverschiebung und Änderung der Reihenfolge ist das der erste Spezialfall hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe#Spezielle_Summen

Beweisen Sie die folgende Formel für alle n Element von N durch vollständige Induktion.

EDIT: Habe "Formel" gemacht aus "Funktion". Schaue bei den Definitionen der Begriffe nach, falls das unklar ist.