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Aufgabe - Summenformeln und vollständige Induktion:

i) Stellen Sie, wie in der Vorlesung, die Methode des jungen C.F. Gauß dar zum Beweis der folgenden Summenformel

$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2} $$

ii) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Summenformel
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(2 n+1)(n+1) $$

Aufgabe i habe ich denke ich mal verstanden. Nur wie soll ich bei ii die summenformel mittels vollständiger Induktion beweisen?

antwort aufgabe (i)

von

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt: … Wie kann man dazu einen Beweis schreiben?

Stichworte: funktion,beweise

Aufgabe:

(i) Beweisen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)

(ii) Berechnen Sie \( \sum \limits_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2} \) für \( n \in \mathbb{N} \).

Wie kann man dazu einen Beweis schreiben?

Vom Duplikat:

Titel: Beweis für eine Summe

Stichworte: summenzeichen,beweise,natürliche-zahlen

Beweis:

für alle n ∈ ℕ gilt:

$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac n6(n+1)(2n+1)$$

Wie genau fängt man bei so einem Beweis an?

Was soll denn bewiesen werden? Wovon soll die rechte Seite der Gleichung der Beweis sein?

Was soll denn bewiesen werden?

Es soll bewiesen werden, dass die Gleichung, die jetzt(!) oben in der Frage steht, für alle Werte von \(n \in \mathbb N\) korrekt ist.

Das ist eine typische vollständige Induktionsaufgabe !

Aloha :)

Dazu gab es gestern dieselbe Frage, die ich ausführlich beantwortet habe.

Schau mal bitte hier:

https://www.mathelounge.de/886509/beweisen-sie-dass-alle-gilt-kann-dazu-einen-beweis-schreiben

3 Antworten

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Strikt nach dem Schema der vollst. Induktion:

Induktionsanfang n = 1: $$\sum_{k = 1}^{1} k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot ( 2 \cdot 1 + 1 )( 1 + 1 ) = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 2 = 1$$

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein \( n \in \mathbb{ N } \)

Induktionsschritt n -> n+1: $$\sum_{k = 1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2$$

und nach Induktionsvoraussetzung

$$ = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = ....... = \frac{1}{6}(n+1)( (n+1) + 1 )( 2(n+1) + 1)$$

Die Umformung bis zum Ergebnis überlasse ich dir.
von 4,3 k
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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu i) Den Beweis für die Formel$$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\eqqcolon A(n)\quad;\quad n\in\mathbb N$$führen wir durch vollständige Induktion über \(n\).

Verankerung bei \(n=1\)

Wir zeigen dass die Behauptung für das kleinst-mögliche \(n\in\mathbb N\) richtig ist:$$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\sum\limits_{k=1}^1k^2=1^2=1=\frac66=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=\frac{\overbrace{\phantom{(}n\phantom{)}}^{=1}\overbrace{(n+1)}^{=2}\overbrace{(2n+1)}^{=3}}{6}=A(n=1)\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\)

Wir gehen nun davon aus, dass die Gültigkeit der Formel \(A(n)\) für ein bestimmtes \(n\) bereits gezeigt wurde und folgern daraus, dass auch die Formel \(A(n+1)\) für das darauf folgende \(n\) gilt.

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\overbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}^{=A(n)}+(n+1)^2\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\overbrace{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}^{=A(n)}+(n+1)^2$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}$$Jetzt klammern wir im Zähler den Faktor \((n+1)\) aus:$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{(n+1)\cdot\left[\;n(2n+1)+6(n+1)\;\right]}{6}=\frac{(n+1)\cdot[\;2n^2+\overbrace{n+6n}^{=7n}+6\;]}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{(n+1)\cdot[\;2n^2+\overbrace{4n+3n}^{=7n}+6\;]}{6}=\frac{(n+1)\cdot[\;\overbrace{(n+2)\cdot2n}^{=2n^2+4n}+\overbrace{(n+2)\cdot3}^{=3n+6}\;]}{6}$$Jetzt können wir aus der eckigen Klammer \((n+2)\) ausklammern:$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=A(n+1)$$Nach der Verankerung gilt die Formel \(A(n)\) für \(n=1\). Nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für \(n=2\), nach dem Induktionsschritt gilt sie dann auch für \(n=3\), nach dem Induktionsschrit gilt sie dann auch für \(n=4\), nach dem... Die Formel gilt also für alle \(n\in\mathbb N\).

zu ii) Wenn wir uns die Summe$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2$$genauer ansehen, erkennen wir, dass die Quadrate aller ungeraden Zahlen von \(1\) bis \((2n-1)\) addiert werden. Mit Hilfe von (i) können wir diese Summe simulieren, indem wir die Quadratze aller natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(2n\) bestimmen und dann die Summe der Quadrate aller geraden natürlichen Zahlen subtrahieren:$$1^2+3^2+5^2+\cdots(2n-1)^2=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\cdots+(2n)^2\right)$$$$\phantom{1^2+3^2+5^2+\cdots(2n-1)^2}-\left((2\cdot1)^2+(2\cdot2)^2+(2\cdot3)^2+(2\cdot4)^2+\cdots+(2\cdot n)^2\right)$$Das mit Summenformeln geschrieben sieht so aus:$$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum\limits_{k=1}^{2n}k^2-\sum\limits_{k=1}^n(2k)^2=\sum\limits_{k=1}^{2n}k^2-2^2\cdot\sum\limits_{k=1}^nk^2=A(2n)-4\cdot A(n)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2n(2n+1)(4n+1)-4n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2(2n+1)(\;n(4n+1)-2n(n+1)\;)}{6}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac{2(2n+1)(\;4n^2+n-2n^2-2n\;)}{6}=\frac13(2n+1)(2n^2-n)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)^2}=\frac13n(2n+1)(2n-1)=\frac13n(4n^2-1)$$

von 109 k 🚀

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :)

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$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac n6(n+1)(2n+1)$$

Fang an mit der Überprüfung für n=1.

Dann nimm an, das es für ein n∈ℕ gilt,

also für dieses n gilt #$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 = \frac n6(n+1)(2n+1)$$

Nun führe die Gültigkeit für n+1 auf die für n zurück, etwa so:

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2 =\sum\limits_{k=1}^{n} k^2  + (n+1)^2 $$Für die Summe setzt du ein, was bekannt ist aus # und hast

$$= \frac n6(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 $$

Das vergleichst du mit dem, was deine Formel für n+1 ergeben

würde, also zeige durch geeignete Umformung, dass gilt

$$ \frac n6(n+1)(2n+1) + (n+1)^2= \frac {n+1}{6}(n+2)(2(n+1)+1)$$

von 252 k 🚀

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