Stochastik. Würfel mit den Maßen 4x4x4, dessen Oberfläche rot gefärbt ist, wird durch Schnitte parallel... zerlegt.

Question

Ein Würfel mit den Maßen 4x4x4, dessen Oberfläche rot gefärbt ist , wird durch Schnitte Parallel zu den Seitenflächen in 64Würfel mit den Maßen 1x1x1 zerlegt. Aus diesen 64 Würfel wird ein Würfel zufällig ausgewählt und dann geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine seiner 5 sichtbaren Seiten rot?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Baumdiagramm möglich? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine der 5 sichtbaren Seiten des Würfels rot?

Stichworte: stochastik,würfel,zerlegen,seite,sichtbar

Aufgabe: Ein Würfel mit den Maßen 4x4x4, dessen Oberfläche rot gefärbt ist , wird durch Schnitte Parallel zu den Seitenflächen in 64 Würfel mit den Maßen 1x1x1 zerlegt. Aus diesen 64 Würfel wird ein Würfel zufällig ausgewählt und dann geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine seiner 5 sichtbaren Seiten rot?

Problem/Ansatz:

Kann man dazu einen Baumdiagramm machen? Wie gehe ich voran?

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Neu ist 2019 allerdings, dass expizit nach einem Baumdiagramm gefragt wird.

Das ist möglich. Der Versuch ist zweistufig.

Erste Stufe:

Zuerst wird ein Würfel gewählt.

Hier sind die Ausfälle: "0, 1, 2, 3 Seiten sind rot" möglich.

Zweite Stufe:

Würfel fällt auf eine der Seiten und sichtbar sind 5 Seiten. Dass alle 5 nicht rot sind, kann bei "0 oder 1 rote Seite" passieren. D.h. du musst nur in diese beiden Äste weiter verfolgen.

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Kann man dazu einen Baumdiagramm machen?

Ja man könnte dazu auch ein Baumdiagramm machen. Ich würde zunächst die Würfel nach anzahl der roten Flächen unterteilen.

Es wird ein Würfel mit keiner roten Fläche gewählt.

Es wird ein Würfel mit genau einer roten Fläche gewählt.

Es wird ein Würfel mit mehr als einer roten Fläche gewählt.

Warum fasse ich die Würfel mit 4 bzw. vier roten Flächen zusammen? Weil man diese würfel ohnehin nicht so werfen kann, das keine rote Fläche mehr zu sehen ist.

Als nachfolgendes Experiment dann es wird geworfen, das keine rote Fläche zu sehen ist und es wird so geworfen das eine rote Fläche zu sehen ist.

Probier das mal.

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Vom Duplikat:

Titel: Stochastik mit Geometrie gemischt. Würfel wird in 64 Würfel zerschnitten. Nun nicht zu kompliziert zählen.

Stichworte: stochastik,geometrie,würfel,oberfläche,zählen

Ein Würfel mit den Maßen 4x4x4, dessen Oberfläche rot gefärbt ist , wird durch Schnitte Parallel zu den Seitenflächen in 64Würfel mit den Maßen 1x1x1 zerlegt. Aus diesen 64 Würfel wird ein Würfel zufällig ausgewählt und dann geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine seiner 5 sichtbaren Seiten rot?

Ich versteh die Aufgabe nicht. Ich weiß, es gibt jetzt 64 Würfel und aus diesen wird einer ausgesucht und geworfen. Jeder würfel hat ja 6 seiten. davon sollen 5 nicht rot sein. die würfel im inneren haben ja weniger rote seiten. aber ich weiß jetzt nicht wie man das abzählen kann? am besten so, dass es nicht so aufwendig ist :/ LG.

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@mistake2

a) Wieviele Ecken hat ein Würfel?

b) Wieviele Kanten hat ein Würfel?

Suche oder bastle einen Würfel und zähle.

Answer 1

Es sind 64 Würfel insgesamt. Davon haben die 8 inneren Würfel 0 rote Seiten, 24 Flächenwürfel 1 rote Seite, 24 Kantenwürfel 2 rote Seiten und die 8 Eckwürfel 3 rote Seiten.

Wenn ein Würfel ausgewählt und geworfen wird, sieht man bei den Würfeln mit 2 oder 3 roten Seiten immer eine rote.

Bei den 24 Würfeln mit 1 roten Fläche sieht man rot nicht, wenn die unten liegende Fläche rot ist.

Bei den 8 innen liegenden Würfeln sieht man natürlich nie rot.

Um die Wahrscheinlichkeit für "Kein rot" zu bestimmen, müssen wir 8/64 + 24/64*1/6 rechnen.

$\overbrace{\frac{8}{64}}^{\text{farbloser Würfel}}+\overbrace{\frac{24}{64}}^\text{eine rote Fläche}\cdot\overbrace{\frac{1}{6}}^\text{Wahrsch. dass der W. auf rote Fläche fällt}$

$=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{6}$

$=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$

$=\frac{3}{16} = 0,1875 = 18,75 \%$

PS: Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.   :-)

PPS: Ich sehe gerade, dass der Coach vor 6 Jahren dasselbe Ergebnis hatte. Dann muss es ja stimmen. ;-)

Zum besseren Verständnis zeige ich hier einen 4er-Zauberwürfel. (Bildquelle: speedcube.com.au)

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung! Was ich mich nur Frage, wie kommst du auf die genauen Werte also 24 Würfel mit ... 8 innere Würfel.. 8 Eckwürfel... woher weiß man das? Leitet man das aus der Oberfläche ab?

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@mistake2

a) Wieviele Ecken hat ein Würfel?

b) Wieviele Kanten hat ein Würfel?

Suche oder bastle einen Würfel und zähle.

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E	K	K	E
K	F	F	K
K	F	F	K
E	K	K	E

Die Tabelle soll eine Würfelfläche darstellen.

E für Ecke, K für Kante, F für Fläche.

Der große Würfel hat 6 Flächen. Da jede Fläche 4 F-Felder hat, die auf genau einer Seite rot sind, sind es 6·4=24 kleine Würfel mit einer roten Fläche.

Zwei rote Felder haben die Kanten-Würfelchen. Ein Würfel hat 12 Kanten, an jeder Kante sind 2 K-Würfelchen, also 12·2=24 mit zwei roten Flächen.

Die Eck-Würfelchen haben 3 rote Felder. Es gibt 8 Ecken (4 oben, 4 unten), also 8 Würfelchen mit 3 mal rot.

Und innen drin sind 2·2·2=8 kleine Würfelein, die kein rot abbekommen haben.

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Tja. Die Schüler spielen heute nur noch mit dem Handy statt mit Lego. Dann kann man sich das eben viel schlechter vorstellen.

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@mathe was sonst

woher weißt du, dass jede Fläche 4 F-Felder hat? und wie könnte man das wenn man die würfelflächen skizze nicht hat, ausdrücken? LG

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was spricht gegen eine Skizze? Wenn ich keine Skizze habe, zeichne ich sie.

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hi :( könntest du deine skizze erläutern bisschen also das mit E = ecken habe ich verstanden warum die da hingehören aber warum 2 kanten und wie man auf "Und innen drin sind 2·2·2=8 kleine Würfelein, die kein rot abbekommen haben." kommt versteh ich nicht...

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Hier eine Skizze für 27 Würfelchen. https://www.mathelounge.de/244724/holzwurfel-oberflache-senkrechte-s…

Nun einfach deinen Zahlen anpassen.

Basteln ist eine anschauliche Option.

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@lu danke aber die gleiche skizze aber nur für die aufgabe habe ich auch im buch aber versteh ich trotzdem nicht :( bitte erlöst mich jemand von meinem elend

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Guck dir mal den 4er-Zauberwürfel an.

2 Würfel sind gelb-grün, das sind 2 Kantenwürfel pro Kante

1 Würfel ist rot-gelb-grün, der Eckwürfel.

Jeweils 4 sind nur rot, nur gelb, nur grün, also 4 pro Fläche.

Und im Inneren sind 2x2x2=8 Würfel ohne Farbe.

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vielen vielen dank @mathe was sonst du bist so gut!!!!!! ich habe jetzt alles verstanden nur den letzten nicht: "Und im Inneren sind 2x2x2=8 Würfel ohne Farbe." wie kommt man darauf? ;(

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Du bist ja wirklivh ein schwerer Fall.   ;-)

Stell dir vor, du nimmst die Schicht weg. Dann siehst du doch 2x2 Würfel, die keine Farbe haben.

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in der tat.. hehe

was bedeutet 2x2

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2 mal 2, also 4... :-)

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Also noch einmal:

Du hast einen großen Würfel, den du zerschneidest, sodass 4 kleine Würfel nebeneinander, hintereinander und übereinander entstehen.

Wenn du den großen Würfel aus Marzipan machst und rundherum mit Schokolade überziehst, gibt es nach dem Zerschneiden vier verschiedene kleine Würfel.

Jetzt nimmst du alle äußeren Würfel weg, die Schokolade abbekommen haben. Übrig bleiben 8 kleine Würfel, 2 nebeneinander, 2 hintereinander und 2 übereinander. 2·2·2=8 Würfel ohne Schoki, bzw. ohne rote Farbe.

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8/64 + 1/6*24/64

8/64 ist die wahrscheinlichkeit für keine roten flächen, 24/64 für 1 rote fläche aber wofür 1/6?

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Wenn ein Würfel mit genau einer roten Fläche so fällt, dass die rote Fläche unten liegt, sieht man auch keine rote Fläche. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Würfel genauso fällt ist 1 von 6, also 1/6.

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Geht es aber bei dieser 1/6 nicht viel mehr darum, dass es überhaupt eine rote Fläche gibt? Ich meine, wie soll man in so einer Rechnung die Wahrscheinlichkeit berücksichtigen, wie der Würfel fällt? Muss man hier auch nicht die Reihenfolge beachten? Also zusätzlich + 24/64*1/6?

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Welche Reihenfolge meinst du denn? Es wird doch nur ein kleiner Würfel gezogen und einmal geworfen.

$\overbrace{\frac{8}{64}}^{\text{farbloser Würfel}}+\frac{1}{6}\cdot\overbrace{\frac{24}{64}}^\text{eine rote Fläche}$

$=\frac{1}{8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{8}$

$=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$

$=\frac{3}{16}$

Answer 2

Schreibe dir die verschiedenen Arten der kleinen Würfel auf nach Anzahl der roten Flächen.

Welche dieser Würfelarten kann man so werfen das keine der 5 sichtbaren Flächen rot ist ? Sind das alle Würfelarten?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Würfelarten, dass man sie so wirft das keine sichtbare Fläche rot ist?

Nun berechnest du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit den zwei Pfadregeln.

8/64 * 1 + 24/64 * 1/6 = 3/16 = 18.75%

Du solltest eventuell auf eine Wahrscheinlichkeit von 18.75% kommen.

Comments

woher weiß man denn genau welche flächen zwei rote haben und welche nicht ich meine zählt man das von der abbildung oder wie

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Ich weiß nicht was genau abgebildet ist. Mit etwas Vorstellungskraft kann man sich aber auch die Würfel vorstellen oder nicht?