Warum ist U_{α}:={(x₁,x₂,x₃)∈|K³ : x₁+x₂+x₃=α} genau dann ein Untervektorraum, wenn α=0?

Question

Warum ist \(U_{α}:=\{(x_1,x_2,x_3)^T∈\mathbb{K}^3 : x_1+x_2+x_3=α\}\) genau dann ein Untervektorraum, wenn \(α=0\)?

"\(\Longrightarrow\):"

Sei \(\alpha=0\), dann ist \(U_0\) nichtleer. Weiterhin gilt \(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\in U_0\) und für alle \(\lambda \in \mathbb{K}\), dass \(\lambda\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda\cdot 0\\\lambda\cdot 0\\\lambda\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\in U_0\), da \(0\) das neutrale Element der Addition ist und aus den Körperaxiomen \(\lambda \cdot 0=0\) gefolgert werden kann.

"\(\Longleftarrow\):"

Sei \(U_\alpha:=\{(x_1,x_2,x_3)^T∈\mathbb{K}^3: x_1+x_2+x_3=α\}\) ein Untervektorraum. Hier geht es ja scheinbar um die Eindeutigkeit von \(\alpha\). Wie kann man hier argumentieren?

Grüße!

Answer 1

Zu ''<='' weißt du ja, dass deine Menge U_α ein Untervektorraum ist. Jetzt kannst du dich an diesen Axiomen entlang arbeiten, und bekommst damit das Resultat, dass α=0 gelten muss!

Wegen (0,0,0)∈U_α  ist 0+0+0=0=α.

Betrachte nun (x₁,x₂,x₃), (y₁,y₂,y₃)∈U_α . Dann ist auch bereits (x₁+y₁,x₂+y₂,x₃+y₃)∈U_α. Man bedenke dabei, dass für die Menge U ein fest gewähltes α∈K vorliegt. Man kann nun drei Gleichungen aufstellen:

(1) x₁+x₂+x₃=α

(2) y₁+y₂+y₃=α

(3) (x₁+y₁)+(x₂+y₂)+(x₃+y₃)=α

(1)+(2) liefert nun aber 2*α=(x₁+x₂+x₃)+(y₁+y₂+y₃)=(x₁+y₁)+(x₂+y₂)+(x₃+y₃)=α, was aber nur für α=0 geht.

Mit dem letzten Unterraumaxiom führst du das genauso auf α=0.

Zu ''=>''. Nun sei α=0 vorgegeben. Dann kann man doch schonmal einen Vektor (x₁,x₂,x₃)∈U₀ basteln, nämlich x₁+x₂+x₃=0+0+0=0, sodass schonmal (0,0,0) in U₀ enthalten ist.

Betrachte nun (x₁,x₂,x₃), (y₁,y₂,y₃)∈U₀. Dann gilt schonmal x₁+x₂+x₃=0 und y₁+y₂+y₃=0. Naja und dann gilt sicherlich auch (x₁+y₁)+(x₂+y₂)+(x₃+y₃)=0, sodass auch (x₁+y₁,x₂+y₂,x₃+y₃)∈U₀ gilt. 

Das dritte Unterraumaxiom kannst du genauso nachrrechnen.

Comments

Gut, so hätte ich es auch gemacht, was mich verwirrt hat ist die Musterlösung:

http://wp.andreas.bieri.name/wp-content/uploads/2016/05/LineareAlgebra-Jaenich.pdf

(vgl. S. 2 ganz unten)

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Hmm, also beim oberen Teil hätte man schon mehr auf die Unterraumaxiome eingehen sollen, auch wenn das größtenteils eher Schreibarbeit ist. Das würde dann auch die Implikation α≠0 => U_α eher unterstreichen, und sogar überflüssig machen.

Mit der aufgeführten Gleichungskette werden alle drei Axiome auf einmal nachgerechnet, weil man sicherlich auch beide Vektoren λ*x:=λ*(x1,x2,x3), μ*y:=μ*(y1,y2,y3)∈U_α als Nullvektor wählen kann. Anschließend wird einfach alles ausgehend von λ*x+μ*y auf die einzelnen Vektoren umschrieben, welche aus der Menge U_α sind. Dann wird die Eigenschaft x=0 und y=0 ausgenutzt, und man ist fertig. Und außerdem müssen per Definition x und y aus U_α sein, was aber der Autor nicht beachtet hat!

Ich persönlich hätte die Gleichungskette aber andersherum aufgeschrieben. Also:

x,y∈U_α, λ,μ∈K. Und, wie ich es schon getan habe. Das macht den Beweis schon alleine viel lesbarer und weil man auch so formal aus in der Definition für die Axiome des Unterraumes startet.

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Jo, super, danke für die Klarstellung - LG!