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Warum ist \(U_{α}:=\{(x_1,x_2,x_3)^T∈\mathbb{K}^3 : x_1+x_2+x_3=α\}\) genau dann ein Untervektorraum, wenn \(α=0\)?

"\(\Longrightarrow\):"

Sei \(\alpha=0\), dann ist \(U_0\) nichtleer. Weiterhin gilt \(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\in U_0\) und für alle \(\lambda \in \mathbb{K}\), dass \(\lambda\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda\cdot 0\\\lambda\cdot 0\\\lambda\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\in U_0\), da \(0\) das neutrale Element der Addition ist und aus den Körperaxiomen \(\lambda \cdot 0=0\) gefolgert werden kann.

"\(\Longleftarrow\):"

Sei \(U_\alpha:=\{(x_1,x_2,x_3)^T∈\mathbb{K}^3: x_1+x_2+x_3=α\}\) ein Untervektorraum. Hier geht es ja scheinbar um die Eindeutigkeit von \(\alpha\). Wie kann man hier argumentieren?

Grüße!

von 15 k

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Zu ''<='' weißt du ja, dass deine Menge Uα ein Untervektorraum ist. Jetzt kannst du dich an diesen Axiomen entlang arbeiten, und bekommst damit das Resultat, dass α=0 gelten muss!

Wegen (0,0,0)∈Uα  ist 0+0+0=0=α.

Betrachte nun (x1,x2,x3), (y1,y2,y3)∈Uα . Dann ist auch bereits (x1+y1,x2+y2,x3+y3)∈Uα. Man bedenke dabei, dass für die Menge U ein fest gewähltes α∈K vorliegt. Man kann nun drei Gleichungen aufstellen:

(1) x1+x2+x3

(2) y1+y2+y3

(3) (x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)=α

(1)+(2) liefert nun aber 2*α=(x1+x2+x3)+(y1+y2+y3)=(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)=α, was aber nur für α=0 geht.

Mit dem letzten Unterraumaxiom führst du das genauso auf α=0.

Zu ''=>''. Nun sei α=0 vorgegeben. Dann kann man doch schonmal einen Vektor (x1,x2,x3)∈U0 basteln, nämlich x1+x2+x3=0+0+0=0, sodass schonmal (0,0,0) in U0 enthalten ist.

Betrachte nun (x1,x2,x3), (y1,y2,y3)∈U0. Dann gilt schonmal x1+x2+x3=0 und y1+y2+y3=0. Naja und dann gilt sicherlich auch (x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)=0, sodass auch (x1+y1,x2+y2,x3+y3)∈Ugilt. 

Das dritte Unterraumaxiom kannst du genauso nachrrechnen.

von 7,3 k

Gut, so hätte ich es auch gemacht, was mich verwirrt hat ist die Musterlösung:

http://wp.andreas.bieri.name/wp-content/uploads/2016/05/LineareAlgebra-Jaenich.pdf

(vgl. S. 2 ganz unten)

Hmm, also beim oberen Teil hätte man schon mehr auf die Unterraumaxiome eingehen sollen, auch wenn das größtenteils eher Schreibarbeit ist. Das würde dann auch die Implikation α≠0 => Uα eher unterstreichen, und sogar überflüssig machen.

Mit der aufgeführten Gleichungskette werden alle drei Axiome auf einmal nachgerechnet, weil man sicherlich auch beide Vektoren λ*x:=λ*(x1,x2,x3), μ*y:=μ*(y1,y2,y3)∈Uα als Nullvektor wählen kann. Anschließend wird einfach alles ausgehend von λ*x+μ*y auf die einzelnen Vektoren umschrieben, welche aus der Menge Uα sind. Dann wird die Eigenschaft x=0 und y=0 ausgenutzt, und man ist fertig. Und außerdem müssen per Definition x und y aus Uα sein, was aber der Autor nicht beachtet hat!

Ich persönlich hätte die Gleichungskette aber andersherum aufgeschrieben. Also:

x,y∈Uα, λ,μ∈K. Und, wie ich es schon getan habe. Das macht den Beweis schon alleine viel lesbarer und weil man auch so formal aus in der Definition für die Axiome des Unterraumes startet.

Jo, super, danke für die Klarstellung - LG!

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