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Ich habe gerade mit meinem Studium angefangen und stehe nun vor einer kniffeligen Aufgabe zum Thema "Mengen und Mengenäquivalenzen".

Folgende Mengengesetze sind vorgegeben:

Seien A, B, C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M. Dann gilt:

A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
(Kommutativität)


(A ∩ B) ∩ C =  A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(Assoziativität)


A ∩ (A ∪ B) =  A
A ∪ (A ∩ B) = A
(Absorbtion)


A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) =  (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(Distributivität)


A ∩ Ac = ∅
A ∪ Ac = M
(Komplement)

A ∩ A = A
A ∪ A = A
(Idempotenz) 

Acc = A
(Doppelkomplement)

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(deMorgansche Regeln) 

M ∩ A = A
∅ ∪ A = A
(Neutralität)

Aufgabe:
A,B,D und E seien Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M.

1. Zeigen Sie unter ausschließlicher Verwendung der o.g. Mengengesetze, die beiden folgenden Mengengleichungen.
a)
(Ac ∪ Bc)c ∪ (Ac ∪ B)c = A
b)
((A ∪ B)c ∩ E)c ∪ (D ∩ A) = A ∪ B ∪ Ec

2. Zeigen Sie: A = B genau dann, wenn ß(A) = ß(B).
(Zur Erinnerung: für eine Menge X bezeichnet ß(X) die Potenzmenge von X.)

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(A^c ∪ B^c)^c ∪ (A^c ∪ B)^c   de Morgan

= ( A^cc ∩ B^cc ) ∪ (A^cc ∩ B^c)   Doppelkomplement

=  ( A ∩ B) ∪ (A ∩ B^c)  Distributiv1

=  A ∩ (B∪ B^c) komplement2

=  A ∩  M  kommutativ

=  M ∩  A  neutral1

= A

Avatar von 287 k 🚀
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a)
(Ac ∪ Bc)c ∪ (Ac ∪ B)c =

(A ∩ B)cc∪ (Ac ∪ Bcc)c =

(A ∩ B)cc∪ (A∩Bc)cc =

(A ∩ B)∪ (A∩Bc) =

(A∪(A∩Bc))∩(B∪(A∩Bc)) =

       A         ∩  (A∪B) = A

Avatar von 123 k 🚀

Vielen lieben Dank :)

mathef hat es so dargestellt wie es bei mir gefordert wurde

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