Beweisen mithilfe von 3 Axiomen

Question

Aufgabe:

Axiom 1: Jeder Student belegt mindestens 1 Fach

Axiom 2: 2 verschiedene Studenten belegen immer genau ein gemeinsames Fach

Axiom 3: Zu jedem Fach gibt es genau ein Komplementärfach mit der Eigenschaft, dass kein Student diese beiden Fächer belegt

Verschiedene Aufgaben wie z.B.: Beweise: Es gibt mindestens 6 Fächer oder Jeder Student belegt mindestens 2 Fächer

Problem/Ansatz:

Es gibt Lösungen, die besagen, es gibt mindestens 6 Fächer

Allerdings auch, dass jeder Student 2 Fächer belegt und zwar:
Student S belegt Fach A
Komplementärfach B belegt Student T laut Axiom 3 und laut Axiom 2 gibt es ein Fach das beide belegen also Fach C

Aber ich kann auch sagen; S und T machen Fach A während Q und R  das Komplementärfach B machen.

Widerspricht keinem der Axiome.

Nachtrag in einem Kommentar 20.10.2019: In der Aufgabe steht zb noch "jedes Fach muss aber von mindestens einem Studenten belegt werden".

Comments

Und welches gemeinsame Fach belegen dann S und Q, S und R, T und Q, T und R? Nach Axiom 2 müssen diese jeweils ein gemeinsames Fach belegen.

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Das war auch mein weiterer Gedanke, ist mit dem Axiom gemeint das jeder Student mit jedem einzelnen ein gemeinsames Fach haben muss oder halt eben nur aufs Fsch bezogen, dass dieses Fsch zwei verschiedene belegen müssen

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Axiom 2 sagt: Wenn du 2 Studierende nimmst, müssen diese genau ein gemeinsames Fach belegen.

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Aber wenn man zb 4 hat haben ja genau 2 Studenten ein gemeinsames Fach, das jeder mit jedem muss steht da ja nicht oder ist das damit dann gemeint?

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Nachtrag in einem Kommentar 20.10.2019: In der Aufgabe steht zb noch "jedes Fach muss aber von mindestens einem Studenten belegt werden".

Habe das nun in der Fragestellung farbig ergänzt. Bitte die Fragestellungen vollständig angeben. Da gehören neben allen Axiomen jeweils auch alle Definitionen dazu.

Answer 1

Es gibt mindestens 6 Fächer oder Jeder Student belegt mindestens 2 Fächer

Das kann nicht bewiesen werden.

Beispiel. Es gibt die Fächer A und B. Jeder Student belegt ausschließlich A. B ist das Komplementärfach von A.

Es gibt Lösungen, die besagen, es gibt mindestens 6 Fächer

Das heißt obige Aussage kann auch nicht widerlegt werden.

Comments

Doch das kann eben bewiesen werden, das ist ja das Problem.

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In der Aufgabe steht zb noch "jedes Fach muss aber von mindestens einem Studenten belegt werden".

Dann gibt es einen Ansatz der behauptet Jeder Student hat mindestens 2 Fächer:

Student S belegt A

Student T belegt Fach b(komplementär zu A) welches A nicht belegen kann Axiom 3

Somit gibt es ein Fach welches S und T belegen, meinetwegen C.

So ist bewiesen jeder Student hat mindestens 2 Fächer.

Mein Einwurf war da allerdings wenn zb S und T Fach a belegen und Q Fach B(komplementär) erfüllt das die Axiome da ich mir nicht sicher war wie Axiom 2 gemeint war, ob sich das eben auf alle untereinander bezieht wie ich mit de Herrn hier vorher diskutierte also Student S, T und Q zb haben dann S und T ein Fach zsm, S und Q und T und Q

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"jedes Fach muss aber von mindestens einem Studenten belegt werden".

Das definiert, was ein Fach ist oder ist als zusätzliches Axiom anzusehen. In beiden Fällen ist es eine für die Aufgabenstellung relevante Angabe.

Student S belegt Fach A
Komplementärfach B belegt Student T laut Axiom 3 und laut Axiom 2 gibt es ein Fach das beide belegen also Fach C

Das widerspricht Axiom 3, weil zu C kein Komplementärfach existiert?

Aber ich kann auch sagen; S und T machen Fach A während Q und R  das Komplementärfach B machen.

Das widerspricht Axiom 2, weil S und Q kein gemeinsames Fach belegen.

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Das wollte ich alles nicht wissen und hilft auch nicht denn die Beweise sind vom Prof.

Ich will nur wissen ob Axiom 2 so gemeint das jeder Stundent mkt jedem Studenten ein gemeinsames Fach haben muss also bei 3 Studenten S, T und Q: S und T, S und Q und T und Q

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Zu Axiom 2 habe ich in meinem letzten Kommentar etwas geschrieben.

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Yip beantwortet dennoch nicht meine Frage aber trotzdem danke

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Doch, tut's. Sobald du zwei Studenten gefunden hast, die kein gemeinsames Fach haben, hast du einen Widerspruch zu Axiom 2 gefunden.

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Die Antwort hilft weiter xD, die andere hätte man immer noch auslegen können