Stirling Approximation (Kollisionsfreiheit)

Question

Aufgabe:

Von 4 Objekten wird jedes rein zufällig auf einen von 16 möglichen Plätzen gesetzt.Bereche die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses “es kommt zu keiner Kollision" über ber die Stirling-Näherung."

Problem/Ansatz:

In unserem Skript ist folgende Formel aufgeführt

Für n < g ist P ( X ∈ A) ≈ \( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{n}{g}}} \) exp (- g η (\( \frac{n}{g} \) ))

mit η (t) = t + (1 - t) ln (1-t),  0 ≤ t ≤ 1

Ich weiß, dass n = 4 sein wird und g = 16 und das man über die exakte Näherung mittels \( \frac{16!}{16^{4}(16-4)!} \) auf das Ergebnis \( \frac{2}{3} \) kommt. Hier ist nun die Stirling-Approximation gefragt. Was ist dieses η und das t in η (t)? In der Vorlesung wurde das leider nur sehr allgemein erklärt, ohne konkretes Beispiel. Kann jemand weiterhelfen?

Danke und liebe Grüße

Answer 1

Hallo

 wenn du f(t)=t^2 hast dann natürlich auch f(x)=x^2 oder f(n/g)=(n/g)^2, entsprechend für die Funktion μ(t) die hier gegeben ist. du musst also nur n/g einsetzen statt t.

(wie da die Stirlingformel verwendet wurde - was du wohl einfach verwenden darfst- finde in wiki

https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel)

Gruß lul