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Häufungspunkte und Umgebungen
Teil der Fragestellung dreht sich um das Konzept der Häufungspunkte und die Beziehung zu Teilfolgen in der Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \), ebenso wie um das Bezugsverhältnis zwischen Folgenkonvergenz und Umgebungen in \( \mathbb{R} \).
a) Häufungspunkt als Limes einer Teilfolge
Wir möchten zeigen, dass ein Element \( a \in \mathbb{R} \) genau dann ein Häufungspunkt der Folge \( (a_k)_{k \in \mathbb{N}_{\geq 0}} \) ist, wenn \( a \) der Grenzwert einer Teilfolge von \( (a_k) \) ist.
Definition: Ein Punkt \( a \) ist ein Häufungspunkt einer Folge \( (a_k) \), wenn für jede Umgebung von \( a \) unendlich viele Glieder der Folge \( (a_k) \) in dieser Umgebung liegen.
Zeigen, dass \( a \) ein Häufungspunkt ist, wenn \( a \) der Grenzwert einer Teilfolge ist:
1. Angenommen, \( a \) ist der Grenzwert einer Teilfolge \( (a_{k_i}) \) von \( (a_k) \). Das bedeutet, für jede noch so kleine Umgebung um \( a \) gibt es ein \( N \) so, dass für alle \( i \geq N \), \( a_{k_i} \) in dieser Umgebung liegt. Da dies für jede Umgebung gilt, gibt es in jeder dieser Umgebungen unendlich viele Glieder der Folge \( (a_k) \), spezifisch die, die in \( (a_{k_i}) \) sind. Daher ist \( a \) ein Häufungspunkt.
Zeigen, dass \( a \) der Grenzwert einer Teilfolge ist, wenn \( a \) ein Häufungspunkt ist:
1. Wenn \( a \) ein Häufungspunkt der Folge \( (a_k) \) ist, bedeutet dies, dass in jeder Umgebung von \( a \) unendlich viele Glieder der Folge liegen. Dies ermöglicht es uns, eine Teilfolge \( (a_{k_i}) \) zu konstruieren, indem wir für jede \( i \)-te Umgebung, die kleiner und kleiner wird, mindestens ein \( a_{k_i} \) wählen, das in allen diesen Umgebungen liegt. Mit \( i \) gegen Unendlich gehen die \( a_{k_i} \) gegen \( a \).
b) Konvergenz und Umgebungen
b) (i) Folgenkonvergenz und Umgebungen:
Zu zeigen: \( x_n \to a \) genau dann, wenn für alle Umgebungen \( U \subset \mathbb{R} \), die \( a \) enthalten, existiert ein \( N \in \mathbb{N}_{\geq 0} \), sodass für alle \( n \geq N \), \( x_n \in U \).
Richtung 1 (\( x_n \to a \Rightarrow \) jede Umgebung enthält fast alle \( x_n \)):
1. Wenn \( x_n \to a \), dann bedeutet das per Definition, dass für jede Umgebung \( U \) von \( a \) ein \( N \) existiert, sodass für alle \( n \geq N \) die Elemente \( x_n \) in \( U \) liegen. Dies folgt direkt aus der Definition der Konvergenz.
Richtung 2 (\( x_n \) in jeder Umgebung \( U \) von \( a \) für fast alle \( n \) \( \Rightarrow x_n \to a \)):
1. Wenn für jede Umgebung \( U \) von \( a \) ein \( N \) existiert, sodass \( x_n \in U \) für alle \( n \geq N \), dann können wir diese Feststellung für jede um \( a \) zentrierte \(\varepsilon\)-Umgebung \( (a-\varepsilon, a+\varepsilon) \) anwenden. Damit zeigt man, dass \( x_n \) gegen \( a \) konvergiert.
b) (ii) Häufungspunkte und Umgebungen:
Zu zeigen: \( a \) ist ein Häufungspunkt von \( (x_n) \) genau dann, wenn in jeder Umgebung \( U \) von \( a \) unendlich viele Punkte der Folge liegen.
1. Wenn \( a \) ein Häufungspunkt ist, dann gibt es in jeder Umgebung von \( a \) per Definition unendlich viele \( x_n \).
2. Wenn in jeder Umgebung \( U \) von \( a \) unendlich viele \( x_n \) liegen, dann kann man für jede noch so kleine Umgebung \( U \) immer Punkte der Folge \( x_n \) finden, die unendlich oft in \( U \) liegen. Dies ist genau die Definition eines Häufungspunktes.
