Aufgabe:
Es seien eine Menge M und Teilmengen A, B, C, D von M gegeben. Zeigen oder widerlegen Sie:
(a)
Es ist (A×C)∪(B×D)=(A∪B)×(C∪D).
(b)
Es ist A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
(c)
Es ist A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C).
(d)
Es ist M∖(A∪B)=(M∖A)∩(M∖B)
(e)
Es ist A∪(B∖C)=(A∪B)∖(A∪C).
Problem/Ansatz:
Hallo Community,
ich möchte kurz eine Frage zu dieser Aufgabe stellen. Mit zeigen oder widerlegen: Was genau ist hier gemeint? Soll ich für die Mengen Zahlen einsetzen und damit dann rechnen, oder muss ich mit Umfomen der linken Seite auf das rechte Ergebnis kommen?
Zurzeit ist mein Ergebnis so:
(a) (A×C)∪(B×D)=(A∪B)×(C∪D).
=> (x,y) € (A×C) v (x,y) € (B×D)
=> (x € A ∧ y € C) v (x € B ∧ y € D)
=> (x € A ∧ y € B) v (x € C ∧ y € D)
=> (x € A v y € B) ∧ (x € C v y € D)
=> (A ∪ B) ×(C ∪ D)
(b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
=> (x,y,z) € (A v B) ∧ (A v C)
=> (x,y) € (A v B) ∧ (x,z) € (A v C)
=> (x,y) € (A ∧ B) v (x,z) € (A ∧ C) (Distributiv)
=> A∪(B∩C)
(c) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
=> (x,y,z) € (A ∧ B) ∧ (A ∧ C)
=> (x,y) € (A ∧ B) ∧ (x,z) € (A ∧ C)
=> (A ∧ B) ∧ (A ∧ C) (Widerspruch)
(d) M∖(A∪B)=(M∖A)∩(M∖B)
=> (x,y,z) € (M - A) ∧ (M - C)
=> (x,y) € (M - A) ∧ (x,z) € (M - C)
???
Meine Fragen sind 3:
(1) Ist (a) (b) und (c) richtig?
(2) Wie rechnet man die (d) und (e)
(3) Wad genau bedeuten mit zeigen oder widerlegen? Habe ich das so richtig gemacht oder gibt es einen einfacheren Weg das zu machen?
