Matrizenprodukt für j-te Spalte beweisen

Question

Aufgabe:

Seien A = (ai,j ) eine reelle m × n Matrix und B = (bh,k)

eine reelle n × p Matrix. Sei C = (cr,s) = AB das Produkt von A und B und seien
i0, j0 ∈ {1, 2, . . . , n}.

a) Zeigen Sie, dass die j0-te Spalte von C gleich dem Matrizenprodukt von A mit dem
j0-ten Spaltenvektor von B ist, also:

c1,j0                         b1,j0
c2,j0                         b2,j0
.                = A *        .
.                                .
.                                .
cm,j0                        bn,j0
.
.
.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das Problem an sich, aber ich habe irgenwie keinen Ansatz im Kopf. bzw. man muss wohl mit C=A*B irgendwas machen. Vielleicht irgendwie argumentieren, dass die j0-te Spalte irgendwelche besonderen Eigenschaften hat? Ich komme einfach nicht drauf... könnte mir jemand vielleicht einen Tipp oder einen Ansatz geben? Das würde schon sehr helfen.

Answer 1

Hallo Nina,

Wenn man Matrizenmultiplikation kennt, dann ist das 'eh irgendwie klar. Aber ich versuche das mal formal hinzuschreiben:

nach der Definition der Matrizenmultiplikation, berechnet sich ein Element \(c_{rs}\) der Matrix \(C\) aus$$c_{rs} = \sum_{t=1}^n a_{rt} \cdot b_{ts}$$Die \(j_0\)-te Spalte \(C_{j_0}\) von \(C\) ist dann:$$\begin{aligned}C_{j_0} &= \begin{pmatrix} c_{1j_0}& \dots & c_{mj_0} \end{pmatrix}^T \\ &= \begin{pmatrix} \sum_{t=1}^n a_{1t} \cdot b_{tj_0} & \dots & \sum_{t=1}^n a_{mt} \cdot b_{tj_0}\end{pmatrix}^T \\ &= A \cdot \begin{pmatrix} b_{1j_0} & \dots & b_{nj_0} \end{pmatrix}^T \\ &= A \cdot B_{j_0}\end{aligned}$$... wenn  \(B_{j_0}\) ide \(j_0\)'te Spalte von \(B\) ist.